[论文解读] Second Quantization and the Spectral Action

Rui Dong, Masoud Khalkhali+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2019

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文将谱行动原理推广至带有化学势的第二次量化费米子与玻色子系统，表明由此产生的吉布斯态的冯·诺依曼熵与平均能量可表示为谱行动。所有谱行动系数均以第二类修正贝塞尔函数表示，其中费米子熵系数在化学势为零极限下退化为黎曼ζ函数，从而恢复了Chamseddine、Connes与van Suijlekom的结果。

ABSTRACT

We consider both the bosonic and fermionic second quantization of spectral triples in the presence of a chemical potential. We show that the von Neumann entropy and the average energy of the Gibbs state defined by the bosonic and fermionic grand partition function can be expressed as spectral actions. It turns out that all spectral action coefficients can be given in terms of the modified Bessel functions. In the fermionic case, we show that the spectral coefficients for the von Neumann entropy, in the limit when the chemical potential $μ$ approaches $0,$ can be expressed in terms of the Riemann zeta function. This recovers a result of Chamseddine-Connes-van Suijlekom.

研究动机与目标

• 将谱行动原理推广至带有化学势的第二次量化费米子与玻色子系统。
• 确定在二次量化中热吉布斯态的冯·诺依曼熵与平均能量是否可表示为谱行动。
• 以特殊函数（特别是修正贝塞尔函数）显式推导谱行动系数的表达式。
• 在化学势为零的极限下，恢复并推广Chamseddine、Connes与van Suijlekom关于费米子熵的谱行动结果。

提出的方法

• 利用福克空间与CAR/CCR代数对谱三元组实施二次量化，以构建玻色子与费米子福克空间。
• 通过包含化学势μ的巨配分函数定义吉布斯态，从而导出密度矩阵ρ_f与ρ_b。
• 利用迹运算从这些密度矩阵计算冯·诺依曼熵与平均能量。
• 利用渐近热核展开分析当t→0+时，如e^{-t(|D|−μ)^2}与e^{-t(D^2−μ)^2}等算子的迹。
• 通过拉普拉斯变换与梅林反演推导谱行动系数，将迹渐近性与谱函数χ(x)联系起来。
• 由于热核展开的结构，第二类修正贝塞尔函数自然地出现在系数表达式中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在引入化学势的情况下，第二量化费米子与玻色子系统的吉布斯态的冯·诺依曼熵是否可表示为谱行动？
• RQ2 在这些第二量化系统中，熵与能量的谱行动系数的功能形式为何？
• RQ3 当μ→0时，谱行动系数（特别是费米子熵）的行为如何？
• RQ4 为何在无化学势时，玻色子熵的谱行动在t=0处出现奇点？μ如何实现该奇点的正则化？
• RQ5 能否恢复并推广Chamseddine、Connes与van Suijlekom关于费米子熵为谱行动的已知结果？

主要发现

• 在费米子与玻色子第二量化中，吉布斯态的冯·诺依曼熵与平均能量均被证明为谱行动，其系数可表示为第二类修正贝塞尔函数。
• 在费米子情况下，当μ→0时，冯·诺依曼熵的谱行动系数以黎曼ζ函数表示，从而恢复了Chamseddine、Connes与van Suijlekom的结果。
• 化学势μ使玻色子熵的谱行动实现正则化，避免了在μ=0时t=0处出现的奇点。
• e^{-t(|D|−μ)^2}的渐近热核展开产生一个包含修正贝塞尔函数的级数，该级数直接决定了谱行动系数。
• 在两种情况下，平均能量的谱行动系数也以修正贝塞尔函数形式导出，表明费米子与玻色子系统间存在普遍结构。
• 该推导建立了二次量化与谱行动原理之间的函子联系，将框架推广至包含化学势与热平衡态的情形。