[论文解读] Second quantized quantum field theory based on invariance properties of locally conformally flat space-times

John Mashford|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文通过将时空建模为具有莫比乌斯结构的局部共形平坦流形，提出了一种第二量化量子场论（QFT）来描述电弱力，由此在施瓦茨旋量和福克空间上得到一个单位表示，对应于 $K \subset U(2,2)$ 的群，该群在局部上同构于 $SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$。其关键贡献在于，费曼振幅和传播子自然地作为 $K$-交织算子和协变测度出现，从而在无需重整化的情况下，为QED和弱相互作用提供了有限且几何基础坚实的表述。

ABSTRACT

Well defined quantum field theory (QFT) for the electroweak force including quantum electrodynamics (QED) and the weak force is obtained by considering natural unitary representations of a group $K\subset U(2,2)$, where $K$ is locally isomorphic to $SL(2,{\bf C}) imes U(1)$, on a state space of Schwartz spinors, a Fock space ${\mathcal F}$ of multiparticle states and a space ${\mathcal H}$ of fermionic multiparticle states which forms a Grassmann algebra. These algebras are defined constructively and emerge from the requirement of covariance associated with the geometry of space-time. (Here $K$ is the structure group of a certain principal bundle associated with a given Möbius structure modeling space-time.) Scattering processes are associated with intertwining operators between various algebras, which are encoded in an associated bundle of kernel algebras. Supersymmetry emerges naturally from the algebraic structure of the theory. Kernels can be generated using $K$ covariant matrix valued measures given a suitable definition of covariance. It is shown how Feynman propagators, fermion loops and the electron self energy can be given well defined interpretations as measures covariant in this sense. An example of the methods described in the paper is given in which the first order Feynman amplitude of electro-electron scattering ($ee ightarrow ee$) is derived from a simple order (2,2) kernel. A second example is given explaining muon decay which is a manifestation of the weak force.

研究动机与目标

• 通过将费曼传播子重新解释为测度而非函数，来解决量子场论中长期存在的发散问题。
• 基于局部共形平坦时空的几何与拓扑不变性，建立电弱力的第二量化QFT。
• 表明散射振幅和传播子自然地源于 $K$-协变矩阵值测度和交织算子，避免了人为的正则化与重整化。
• 证明超对称性和费米统计可从理论的代数结构中导出，特别是费米子态的格拉斯曼代数。
• 提出一种上同调判据——通过核代数上的德拉姆上同调类似物——以区分物理上可实现的散射过程与仅数学上可能的过程。

提出的方法

• 将时空建模为局部闵氏因果结构，等价于莫比乌斯结构，由此产生一个主 $K$-丛，其中 $K \subset U(2,2)$，在局部上同构于 $SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$。
• 将态空间定义为施瓦茨旋量、福克空间 $\mathcal{F}$，以及费米子多体态的格拉斯曼代数 $\mathcal{H}$，并使 $K$ 在其上实现单位表示。
• 通过构造态空间之间的 $K$-交织算子作为散射理论的基本对象，确保在时空对称群 $K$ 下的协变性。
• 将费曼传播子和自能修正表示为 $\mathbb{R}^4$ 上的 $K$-协变矩阵值测度，并给出电子-电子散射和μ子衰变的显式例子。
• 利用核代数及其相关丛来编码散射振幅，通过涉及 $\kappa$-矩阵的张量收缩，从 (2,2) 阶核推导出完整振幅。
• 提出核代数丛上类似德拉姆上同调的理论，以区分物理上可实现的过程与纯数学上可能的过程，将拓扑与可观测振幅联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将传播子重新解释为测度而非函数，来构建无发散的电弱力量子场论？
• RQ2 局部共形平坦时空的对称性——特别是群 $K \subset U(2,2)$——如何导致在费米子福克空间和格拉斯曼空间上具有单位表示的一致性第二量化QFT？
• RQ3 $K$-交织算子在多大程度上提供了比标准微扰QFT中正则化与重整化更基本且有限的散射振幅描述？
• RQ4 超对称性和费米统计能否从态空间的代数结构及 $K$ 的作用中导出？
• RQ5 是否存在一种拓扑判据——通过核代数的上同调——以区分物理上发生的散射过程与非物理过程？

主要发现

• 费曼传播子和自能修正被严格定义为 $\mathbb{R}^4$ 上的 $K$-协变矩阵值测度，提供了无需重整化的有限且几何基础坚实的解释。
• 电子-电子散射（$ee \to ee$）的一阶振幅由单一 (2,2) 阶核导出，通过 $K$-交织运算和 $\kappa$-矩阵收缩显式构造。
• μ子衰变被解释为弱力的体现，其过程由包含 $W$ 玻色子传播子的 $K$-交织核描述，振幅以 $K$-协变测度表示。
• 超对称性自然地从理论的代数结构中出现，特别是费米子态的格拉斯曼代数以及 $K$ 对核代数的作用。
• 该理论提出，物理上可实现的散射过程对应于核代数丛上类似德拉姆上同调的上同调类，将时空拓扑与可观测振幅联系起来。
• 群 $K$，在局部上同构于 $SL(2,\mathbb{C}) \times U(1)$，取代了庞加莱群作为基本对称群，允许打破科尔曼-曼杜拉定理，并为时空对称性与内部对称性的统一提供了可能。