[论文解读] Sectorial descent for wrapped Fukaya categories

Sheel Ganatra, J. F. Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文建立了Weinstein流形的wrapped Fukaya范畴的扇形下降性质，证明该范畴在Weinstein扇形覆盖下可分解为同伦余极限。关键结果包括Künneth公式、wrapping正合三角形、余核与链环盘的生成性，以及通过局部化实现的停止点移除，所有这些均在辛拓扑中提供了强大的计算工具。

ABSTRACT

We develop a set of tools for doing computations in and of (partially) wrapped Fukaya categories. In particular, we prove (1) a descent (cosheaf) property for the wrapped Fukaya category with respect to so-called Weinstein sectorial coverings and (2) that the partially wrapped Fukaya category of a Weinstein manifold with respect to a mostly Legendrian stop is generated by the cocores of the critical handles and the linking disks to the stop. We also prove (3) a `stop removal equals localization' result, and (4) that the Fukaya--Seidel category of a Lefschetz fibration with Liouville fiber is generated by the Lefschetz thimbles. These results are derived from three main ingredients, also of independent use: (5) a Künneth formula (6) an exact triangle in the Fukaya category associated to wrapping a Lagrangian through a Legendrian stop at infinity and (7) a geometric criterion for when a pushforward functor between wrapped Fukaya categories of Liouville sectors is fully faithful.

研究动机与目标

• 为辛拓扑中的wrapped Fukaya范畴开发计算工具。
• 在Weinstein扇形覆盖下建立wrapped Fukaya范畴的下降性质。
• 证明具有大部分Legendrian停止点的Weinstein流形的部分wrapped Fukaya范畴由余核与链环盘生成。
• 表明停止点移除在Fukaya范畴中等价于对延续映射的局部化。
• 为wrapped Fukaya范畴之间的全纯嵌入函子提供几何判据。

提出的方法

• 使用产品Liouville扇形的wrapped Fukaya范畴的Künneth公式。
• 建立与在无穷远处通过Legendrian停止点wrapping一个Lagrangian相关的Fukaya范畴中的正合三角形。
• 引入一个几何判据，用于判断wrapped Fukaya范畴之间的推送函子何时是全纯的。
• 应用同伦余极限与上积形式化方法，对覆盖下的范畴进行分解。
• 利用带停止点的包含关系与扇形粘合，关联局部与全局范畴。
• 利用扭曲复形与三角化包络理论，证明拟等价结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 wrapped Fukaya范畴的Weinstein流形是否在扇形覆盖下具有类似Čech的分解？
• RQ2 具有大部分Legendrian停止点的Weinstein流形的部分wrapped Fukaya范畴是否可由余核与链环盘生成？
• RQ3 Fukaya范畴中的停止点移除是否等价于对停止点相关延续映射的局部化？
• RQ4 在何种几何条件下，wrapped Fukaya范畴之间的推送函子是全纯的？
• RQ5 如何利用乘积与柱化构造来构建并关联wrapped Fukaya范畴？

主要发现

• 扇形下降成立：Weinstein流形的wrapped Fukaya范畴与在Weinstein扇形覆盖下其扇形的同伦余极限拟等价。
• 具有大部分Legendrian停止点的Weinstein流形的部分wrapped Fukaya范畴由临界胞腔的余核与停止点的链环盘生成。
• Fukaya范畴中的停止点移除精确对应于对停止点相关延续映射的局部化。
• 具有Liouville纤维的Lefschetz纤维化Fukaya–Seidel范畴由Lefschetz圆柱生成。
• 对于Liouville扇形与带停止点流形的乘积，wrapped Fukaya范畴满足Künneth公式。
• 建立了一个几何判据，表明在满足凸性与Liouville结构的条件下，wrapped Fukaya范畴之间的推送函子是全纯的。