[论文解读] Segre embeddings, Hilbert series and Newcomb's problem

Marcel Moralès|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过证明与多重集排列中下降数计数相关的西蒙·纽科姆数（Simon Newcomb numbers）等于与多项式空间乘积的塞格雷嵌入相关联的环的Hilbert系列的h-向量，建立了代数几何与组合数学之间的深刻联系。利用格罗布纳基理论和首项理想，作者为西蒙·纽科姆数提供了一个仅含正整数的显式公式，解决了组合概率领域的一个开放问题，并将其与相关环的Betti数联系起来。

ABSTRACT

Monomial ideals and toric rings are closely related. By consider a Grobner basis we can always associated to any ideal $I$ in a polynomial ring a monomial ideal ${ m in}_\prec I$, in some special situations the monomial ideal ${ m in}_\prec I$ is square free. On the other hand given any monomial ideal $I$ of a polynomial ring $S$, we can define the toric $K[I]\subset S$. In this paper we will study toric rings defined by Segre embeddings, we will prove that their $h-$ vectors coincides with the so called Simon Newcomb number's in probabilities and combinatorics. We solve the original question of Simon Newcomb by given a formula for the Simon Newcomb's numbers involving only positive integer numbers.

研究动机与目标

• 通过塞格雷嵌入的环建立西蒙·纽科姆数的精确代数-几何解释。
• 通过仅使用正整数推导出西蒙·纽科姆数的公式，从而解决纽科姆原始的开放问题。
• 证明塞格雷环的Hilbert系列的h-向量恰好等于西蒙·纽科姆数A([b], k)。
• 以这些组合不变量的形式刻画塞格雷嵌入定义理想中的Betti数。
• 证明随着塞格雷嵌入尺寸的增大，Betti数单调递增。

提出的方法

• 构造与超立方体M = {0,...,b1} × ... × {0,...,bn} ⊂ ℕ^n相关的环I_M的toric理想，该超立方体对应于ℙ^b1 × ... × ℙ^bn的塞格雷嵌入。
• 利用格罗布纳基理论证明：存在一种项序，使得in_≺(I_M)为平方自由，从而其首项复形Δ_≺(I_M)为正规单模三角剖分。
• 证明Δ_≺(I_M)的面与西蒙·纽科姆牌面翻转过程中的“上升”或“堆叠”一一对应。
• 应用Hilbert系列公式，证明环S/I_M的h-多项式系数等于西蒙·纽科姆数A([b], k)。
• 使用公式h_k = ∑_{j=0}^k (-1)^j (d choose j) H_{S/I_M}(k−j) 从Hilbert函数计算h-向量。
• 利用Cohen–Macaulay性质与多分次结构，通过Tor函子与舒尔表示将Betti数与西蒙·纽科姆数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 塞格雷环的Hilbert系列的h-向量能否以西蒙·纽科姆数的组合方式解释？
• RQ2 是否存在一个仅使用正整数的西蒙·纽科姆数A([b], k)的显式公式，以解决纽科姆原始提出的问题？
• RQ3 塞格雷嵌入定义理想的Betti数是否反映了多重集排列中下降数的组合结构？
• RQ4 随着射影空间维数的增加，toric理想的Betti数如何变化？
• RQ5 塞格雷环理想J_{[b]}的最小自由解析是否为纯的？如果是，其条件是什么？

主要发现

• 塞格雷环S/I_M的Hilbert系列的h-向量恰好是西蒙·纽科姆数A([b], k)的序列，为这些组合数提供了直接的代数-几何实现。
• 通过仅使用正整数，推导出西蒙·纽科姆数的新公式：A([b], k) = ∑_{j=0}^k (-1)^j (d choose j) H_{S/I_M}(k−j)，其中d = dim(S/I_M)。
• Betti数β_{p,q}(R_{[b]})非零且随嵌入规模增大而递增，满足当b' ≥ b逐项成立时，β_{p,q}(R_{[b']}) ≥ β_{p,q}(R_{[b]})。
• 理想J_{[b]}的Betti图在右上角具有对称且非零的结构，其中β_{c([b]), c([b])+reg(R_{[b]})}(R_{[b]}) = A([b], reg(R_{[b]})) ≠ 0。
• 当且仅当n=3且b1=b2=b3=1时，J_{[b]}的最小自由解析为纯的，此结论通过显式计算Betti图得到验证。
• 当n ≥ 3时，对所有满足n ≥ 3的[b]，有β_{3,6}(J_{[b]}) ≠ 0，且该非零性会传播至更大的嵌入。