[论文解读] Seiberg-Witten theory on 4-manifolds with periodic ends

Diogo Veloso|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过证明关键分析结果，为具有周期性端点的4-流形建立了新的同伦上同调的Seiberg-Witten理论：在拓扑与曲率条件下，证明了Laplacian算子和Dirac算子的Fredholm性质，建立了加权Sobolev空间上的Hodge型分解，并证明了Seiberg-Witten映射的强制性与紧致性。这些结果使得该类非紧致4-流形的新型Seiberg-Witten型同伦上同调不变量得以定义。

ABSTRACT

In this thesis we prove analytic results about a cohomotopical Seiberg-Witten theory for a Riemannian, Spin$^c$(4), 4-manifold with periodic ends, $(X, g, τ)$ . Our results show that, under certain technical assumptions on $(X, g, τ)$, this new version is coherent and leads to Seiberg-Witten type invariants for this new class of 4-manifolds. In the first part, using Taubes criteria for end-periodic operators, we show that for a Riemannian 4-manifold with periodic ends, $(X, g)$, verifying certain topological conditions, the Laplacian, $Δ_+ : L^2_2({Λ^2}_+) ightarrow L^2({Λ^2}_+)$, is a Fredholm operator. This allows us to prove a Hodge type decomposition for positively weighted Sobolev 1-forms on $(X,g)$. We also prove, assuming non-negative scalar curvature on each end and certain technical topological conditions, that the associated Dirac operator associated with an end-periodic connection (which is ASD at infinity) is Fredholm. In the second part we establish an isomorphism between the de Rham cohomology group, $H^{1}_{\mathrm{dR}}(X,i\mathbb{R})$ (which is a topological invariant of X) and the harmonic group intervening in the above Hodge type decomposition of the space of positively weighted 1-forms on $(X,g)$. We also prove two short exact sequences relating the gauge group of the Seiberg-Witten moduli problem and the cohomology group $H^{1}(X, 2πi\mathbb{Z})$. In the third part, we prove the main results: the coercivity of the Seiberg-Witten map and the compactness of the moduli space for a 4-manifold with periodic ends, $(X,g,τ)$, verifying the above conditions. Finally, using the coercitivity property, we show that a Seiberg-Witten type cohomotopy invariant associated to $(X, g, τ)$ can be defined

研究动机与目标

• 将Seiberg-Witten理论推广至具有周期性端点的非紧致4-流形，其中标准紧致性与Fredholm理论失效。
• 为该类流形上的新版本Seiberg-Witten理论建立分析基础——特别是Fredholm性质与Hodge分解。
• 在曲率与拓扑条件下，证明Seiberg-Witten映射的强制性与紧致性，从而实现不变量的构造。
• 通过Okonek-Teleman形式化方法定义一个同伦上同调不变量，将紧致情形推广至具有周期性端点的流形。
• 为未来对新不变量的显式计算与结构分析奠定基础，此类研究需要根本不同的技术。

提出的方法

• 应用Taubes的端周期算子Fredholm判别准则，证明在拓扑假设下，正Laplacian算子 $\Delta_+$ 在加权 $L^2_2$-形式上是Fredholm算子。
• 证明在 $X$ 上，正加权Sobolev 1-形式存在Hodge型分解，且调和空间 $\mathbb{H}^1_w$ 同构于de Rham上同调群 $H^1_{dR}(X,i\mathbb{R})$。
• 在非负标量曲率与拓扑条件成立下，证明与端周期反自对偶连接相关的Dirac算子具有Fredholm性质。
• 借鉴Kronheimer-Mrowka在紧致情形下的技术，推导Seiberg-Witten映射的能量恒等式与收敛性引理。
• 通过在 $L^1_{\text{loc}}$ 与 $L^2$-型空间中的弱收敛与强收敛引理，证明Seiberg-Witten映射 $\mu_{SW}$ 在环面 $B$ 上的强制性。
• 应用Okonek-Teleman形式化方法，从由扰动Seiberg-Witten映射诱导的强制且等变的向量丛映射中定义同伦上同调不变量 $\{\mu_{SW_\eta}\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过适配非紧致几何的分析方法，将Seiberg-Witten理论推广至具有周期性端点的4-流形？
• RQ2 在何种条件下，$X$ 上的Laplacian算子 $\Delta_+$ 是加权Sobolev空间上的Fredholm算子？
• RQ3 如何在具有周期性端点的4-流形上建立 $L^2$-Sobolev 1-形式的Hodge型分解？
• RQ4 在何种条件下，与端周期反自对偶连接相关的Dirac算子具有Fredholm性质？
• RQ5 能否证明Seiberg-Witten映射在该类流形上具有强制性，且其模空间具有紧致性，从而实现不变量的构造？

主要发现

• 在特定拓扑条件下，4-流形具有周期性端点时，Laplacian算子 $\Delta_+ : L^2_2(\Lambda^2_+) \to L^2(\Lambda^2_+)$ 是Fredholm算子。
• 在 $X$ 上，正加权Sobolev 1-形式存在Hodge型分解，且调和空间 $\mathbb{H}^1_w$ 同构于de Rham上同调群 $H^1_{dR}(X,i\mathbb{R})$。
• 当每个端点上的标量曲率为非负，且满足某些拓扑条件时，与端周期反自对偶连接相关的Dirac算子是Fredholm算子。
• 建立了两个短正合列，将Seiberg-Witten模问题的规范群与上同调群 $H^1(X,2\pi i\mathbb{Z})$ 联系起来。
• 在满足所述几何与拓扑假设下，若每个端 $e$ 满足 $H_1(W_e,\mathbb{Z})$ 为挠群，则Seiberg-Witten映射 $\mu_{SW}$ 在环面 $B$ 上是强制的。
• 在扰动映射 $\mu_{SW_\eta}$ 对一般 $\eta$ 是强制且可接受的条件下，可通过Okonek-Teleman形式化方法定义同伦上同调不变量 $\{\mu_{SW_\eta}\}$。