[论文解读] Self-Similar Graphs

Kiran B. Chilakamarri, Mukhtaj Khan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 18

一句话总结

本文通过将基图 $G$ 的顶点和对称边束 $J$ 分别替换为 $G$ 和 $J$ 的副本，递归构造出自相似图。证明当 $G = K_n$ 且 $J$ 为完美匹配时，所得图构成一个无限族，其边膨胀系数 $\Phi \geq n/2$ 有界，且色数保持不变，表明其作为膨胀图的实用性。

ABSTRACT

For any graph $G$ on $n$ vertices and for any {\em symmetric} subgraph $J$ of $K_{n,n}$, we construct an infinite sequence of graphs based on the pair $(G,J)$. The First graph in the sequence is $G$, then at each stage replacing every vertex of the previous graph by a copy of $G$ and every edge of the previous graph by a copy of $J$ the new graph is constructed. We call these graphs {\em self-similar} graphs. We are interested in delineating those pairs $(G,J)$ for which the chromatic numbers of the graphs in the sequence are bounded. Here we have some partial results. When $G$ is a complete graph and $J$ is a special matching we show that every graph in the resulting sequence is an {\em expander} graph.

研究动机与目标

• 定义并形式化一种基于基图 $G$ 和对称边束 $J$ 的自相似图递归构造方法。
• 研究在何种配对 $(G,J)$ 下，所得无限图序列的色数保持有界。
• 确定自相似图成为具有有界膨胀系数的膨胀图的条件。
• 刻画当 $G$ 为完全图时，能保持有界色数的边束 $J$。
• 探索自相似图的结构与谱性质，特别是其特征值与膨胀行为。

提出的方法

• 递归定义自相似图：$G^1 = G$，且 $G^k$ 通过将 $G^{k-1}$ 中每个顶点替换为 $G$ 的一个副本，每条边替换为 $J$ 的一个副本而形成。
• 使用邻接规则：(1) $G$ 副本内部的边保持不变；(2) 若 $G^{k-1}$ 中对应顶点相邻，且 $J$ 中对应指标相连，则在副本之间添加边。
• 将 $G^k$ 的邻接矩阵建模为块矩阵，其块对应于 $A(G^{k-1})$ 和单位矩阵，从而通过矩阵行列式恒等式实现谱分析。
• 应用文献 [7] 中的特征值公式，计算 $G^k$ 的谱，特别针对 $G = K_n$ 且 $J$ 为完美匹配的情况。
• 利用谱间隙推导边膨胀系数 $\Phi(G^k)$，证明当 $G = K_n$ 且 $J$ 为匹配时，对所有 $k \geq 1$ 有 $\Phi(G^k) \geq n/2$。
• 使用数学归纳法证明 $G^k$ 的谱为 $\{-k, -k+n, \dots, -k+kn\}$，从而得出膨胀界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为完全图时，对哪些对称边束 $J$，自相似图序列 $\{G^k\}$ 的色数保持有界？
• RQ2 当 $G = K_n$ 且 $J$ 为完美匹配时，边膨胀系数 $\Phi(G^k)$ 是否对所有 $k$ 均有统一的下界？
• RQ3 基于一般图 $G$ 和匹配 $J$ 的自相似图 $\{G^k\}$ 的边膨胀系数是否总是不小于 $\Phi(G)$？
• RQ4 对于任意图 $G$，所有满足 $\chi_\infty(G,J) < \infty$ 的边束 $J$ 的完整刻画是什么？
• RQ5 如何递归地描述 $G^k$ 的特征值？哪些谱性质可保证有界膨胀？

主要发现

• 当 $G = K_n$ 且 $J$ 为完美匹配（即 $E(J) = \{(i,i^\prime)\}$）时，对所有 $k \geq 1$ 有 $\Phi(G^k) \geq n/2$，证明这些图是具有固定下界的膨胀图。
• 当 $G = K_n$ 且 $J$ 为完美匹配时，自相似图的色数恒为 $n$，尽管图的规模呈指数级增长。
• 当 $G = K_n$ 且 $J$ 为匹配时，$G^k$ 的谱为 $\{-k, -k+n, \dots, -k+kn\}$，该结果通过归纳法与矩阵行列式恒等式推导得出。
• $G^k$ 的顶点膨胀系数大于 $1/(2k)$，表明即使图不断增长，膨胀性质依然保持。
• 当 $G = K_n$ 且 $J = K_{nn}$ 减去一个匹配时，谱间隙给出 $\Phi(G^k) \geq (n-1)^{k-2}(n^2 - 2n)/2$，表明对大 $k$ 时具有强膨胀性，但膨胀系数并非一致有界。
• 本文刻画了所有满足 $\chi_\infty(K_n, J) < \infty$ 的边束 $J$，表明当 $J$ 避免某些密集配置时，色数有界。