[论文解读] Self-similarity parameter estimation and reproduction property for non-Gaussian Hermite processes

Alexandra Chronopoulou, Frédéri Viens+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过多重伊藤-维纳积分与马利avin微积分，建立了非高斯赫尔米特过程的可重现性性质，表明这些过程的变体可生成具有不同阶数与赫斯特参数的新赫尔米特过程。本文提出了一种基于离散观测的自相似参数 $ H $ 的一致估计量，其证明基于非中心极限定理与 $ L^p $-收敛结果。

ABSTRACT

We consider the class of all the Hermite processes $(Z_{t}^{(q,H)})_{t\\in \\lbrack 0,1]}$ of order $q\\in \\mathbf{N}^{\\ast}$ and with Hurst parameter $% H\\in (\\frac{1}{2},1)$. The process $Z^{(q,H)}$ is $H$-selfsimilar, it has stationary increments and it exhibits long-range dependence identical to that of fractional Brownian motion (fBm). For $q=1$, $Z^{(1,H)}$ is fBm, which is Gaussian; for $q=2$, $Z^{(2,H)}$ is the Rosenblatt process, which lives in the second Wiener chaos; for any $q>2$, $Z^{(q,H)}$ is a process in the $q$th Wiener chaos. We study the variations of $Z^{(q,H)}$ for any $q$, by using multiple Wiener -It\\^{o} stochastic integrals and Malliavin calculus. We prove a reproduction property for this class of processes in the sense that the terms appearing in the chaotic decomposition of their variations give rise to other Hermite processes of different orders and with different Hurst parameters. We apply our results to construct a strongly consistent estimator for the self-similarity parameter $H$ from discrete observations of $Z^{(q,H)}$; the asymptotics of this estimator, after appropriate normalization, are proved to be distributed like a Rosenblatt random variable (value at time $1$ of a Rosenblatt process).with self-similarity parameter $1+2(H-1)/q$.

研究动机与目标

• 研究阶数为 $ q $、赫斯特参数 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $ 的非高斯赫尔米特过程的变异性态。
• 建立一种可重现性性质，即通过混沌分解，变体可产生阶数与赫斯特参数均改变的新赫尔米特过程。
• 基于离散观测，开发自相似参数 $ H $ 的一致估计量。
• 将收敛结果从 $ L^2 $ 扩展至 $ L^p $-范数。

提出的方法

• 利用多重伊藤-维纳随机积分，将赫尔米特过程的变体分解为正交混沌分量。
• 应用马利avin微积分分析这些变体的结构，并推导其渐近分布。
• 运用非中心极限定理刻画归一化二次及高阶变体的极限行为。
• 通过分析离散采样下 $ q $-变体的标度行为，推导出 $ H $ 的一致估计量。
• 通过扩展矩界并利用混沌分量上的霍尔德不等式，建立估计量的 $ L^p $-收敛性。
• 使用切比雪夫不等式与矩估计控制尾部概率，确保依概率收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫尔米特过程变体的混沌分解是否会产生具有不同参数的新赫尔米特过程？
• RQ2 能否从非高斯赫尔米特过程的离散观测中一致估计自相似参数 $ H $？
• RQ3 当 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 时，赫尔米特过程的归一化 $ q $-变体的极限分布为何？
• RQ4 该估计量的收敛性质如何从 $ L^2 $ 扩展至 $ L^p $-范数？

主要发现

• 阶数为 $ q $、赫斯特参数为 $ H $ 的赫尔米特过程的变体，可生成阶数为 $ q $、自相似参数为 $ q(H-1)+1 $ 的新赫尔米特过程，从而确立了可重现性性质。
• 当 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $ 时，归一化 $ q $-变体 $ N^{q(1-H)-1}v_N^{(q)} $ 依分布收敛于阶数为 $ q $ 的非高斯赫尔米特随机变量。
• 所提出的 $ H $ 的估计量 $ \hat{H} $ 是一致的，且当 $ N \to \infty $ 时，有 $ \hat{H} \to H $ 依概率成立。
• 该估计量在所有 $ p \geq 1 $ 下均在 $ L^p(\Omega) $ 中收敛，将 $ L^2 $-收敛结果推广至更强的范数。
• 证明依赖于矩界与通过切比雪夫不等式获得的尾部概率估计，表明误差 $ |H - \hat{H}| $ 随 $ N \to \infty $ 而趋于零。