[论文解读] Semi-infinite Schubert varieties and quantum K-theory of flag manifolds

Alexander Braverman, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 18

一句话总结

本文建立了基于旗流形上的基于拟映射所建模的半无限施鲁夫特簇的正规性、戈伦斯坦性质以及有理奇点，并证明其等变特征函数满足量子差分佐达方程的费米子公式版本，从而通过单连通李代数的朗兰兹对偶量子群，证实了旗流形量子K-理论的一个猜想。

ABSTRACT

Let g be a semi-simple Lie algebra. In this paper we study the spaces of based quasi-maps from the projective line P^1 to the flag variety of g (it is well-known that their singularities are supposed to model the singularities of the so called semi-infinite Schubert varieties which are hard to define directly). In the first part of the paper we show that the above spaces are normal and in the case when g is simply laced they are also Gorenstein and have rational singularities. In the second part of the paper we compute the character of the ring of functions on the above spaces; in view of the above results this computation can be thought of as a computation of the (equivariant) K-theoretic J-function of the flag variety of g. We show that when g is simply laced the above characters satisfy the "fermionic recursion" version of the difference quantum Toda lattice (due to B.Feigin, E.Feigin, M.Jimbo, T.Miwa and E.Mukhin). As a byproduct we show that the equivariant K-theoretic J-function of the flag variety of a simply laced Lie algebra g is the universal eigen-function of the difference quantum Toda lattice, thus proving a conjecture of Givental and Lee. Some modification of this result is also shown to hold for non-simply laced g. We also discuss an extension of the above results to the case when g is an affine Lie algebra (this extension is conjectural except when g=sl(N)).

研究动机与目标

• 研究基于旗流形的拟映射空间的奇点，这些空间用于建模半无限施鲁夫特簇。
• 证明这些空间是正规的，且当李代数为单连通时，具有有理奇点的戈伦斯坦性质。
• 计算这些空间坐标环的特征，并将其与量子K-理论不变量联系起来。
• 验证一个关于旗流形量子K-理论与朗兰兹对偶量子群之间关系的猜想，该猜想通过费米子公式表达。
• 在特定假设下，将这些结果推广到仿射李代数情形。

提出的方法

• 将 Zastava 空间 $ Z^{eta}_{rak{g}} $ 定义为参数化从 $ b{P}^1 $ 到旗流形 $ rak{B}_{rak{g}} $ 的度数为 $ eta $ 的基于拟映射的仿射概形。
• 利用分层 $ igsqcup_{0 o eta o eta} rak{M}^{eta}_{rak{g}} \times \operatorname{Sym}^{\alpha - \beta}(\bb{C} - \infty) $ 分析 $ Z^{eta}_{rak{g}} $ 的几何结构。
• 通过 Kontsevich 模空间 $ M^{eta}_{rak{g}} $ 构造奇点的解析，该空间参数化到 $ \frak{B}_{rak{g}} \times \bb{P}^1 $ 的度数为 $ (\beta,1) $ 的稳定映射，并满足基于条件。
• 计算 $ T \times \bb{C}^* $-等变结构层 $ \mathcal{O}_{M^{eta}_{rak{g}}} $ 的上推，得到生成函数 $ \mathfrak{J}_{\beta}(z,q) $。
• 利用递推关系 $ \mathcal{J}_{\alpha} = \sum_{0 \leq \beta \leq \alpha} \frac{q^{(\beta,\beta)/2} z^{\beta^*}}{(q)_{\alpha - \beta}} \mathcal{J}_{\beta} $，证明 $ \mathfrak{J}_{\beta} $ 满足量子差分佐达方程的费米子公式版本。
• 对于非单连通 $ \frak{g} $，通过单连通覆盖 $ \frak{g}' $ 的拟映射空间中 $ \sigma $-不变子簇，构造一个概形 $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $，并证明 $ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} = \mathbb{C}[\widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}}] $。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于旗流形的拟映射空间 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 是否正规，且是否具有有理奇点？
• RQ2 坐标环 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 的特征是否满足量子差分佐达方程的费米子公式版本？
• RQ3 旗流形 $ \frak{B}_{\frak{g}} $ 的量子K-理论能否通过朗兰兹对偶量子群 $ U_q(\check{\frak{g}}) $ 描述？该结论在非单连通 $ \frak{g} $ 情形下是否依然成立？
• RQ4 拟映射的几何结构如何与量子群的表示理论及惠特aker向量相关联？
• RQ5 生成函数 $ \mathcal{J}_\alpha $ 的几何实现如何通过 $ T \times \bb{C}^* $-等变上同调或K-理论来表达？

主要发现

• 对于所有半单李代数 $ \frak{g} $ 和所有 $ \alpha \in \Lambda_+ $，空间 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 和 $ \mathcal{QM}^\alpha_{\frak{g}} $ 均为正规的。
• 当 $ \frak{g} $ 为单连通时，$ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 是戈伦斯坦的，且具有有理奇点，这意味着它是科恩-麦克aul伊的。
• 生成函数 $ \mathfrak{J}_\alpha(z,q) $，即 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 的 $ T \times \bb{C}^* $-等变特征函数，满足量子差分佐达方程的费米子公式版本。
• 对于单连通 $ \frak{g} $，特征 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 等于 $ \mathfrak{J}_\alpha $，从而证实了通过朗兰兹对偶量子群描述 $ \frak{B}_{\frak{g}} $ 量子K-理论的一个猜想。
• 对于非单连通 $ \frak{g} $，特征 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 与 $ \mathfrak{J}_\alpha $ 不同，需通过折叠李代数 $ \frak{g}' $ 和 $ \sigma $-不变子簇对猜想进行修正。
• 概形 $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $，作为 $ Z^{a(\bar{\alpha})}_{{\frak{g}}'} $ 中 $ \sigma $-不动点的闭包，实现了 $ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} $ 作为其 $ T \times \bb{C}^* $-等变特征函数。