[论文解读] Semi-positivity of logarithmic cotangent bundle and Shafarevich-Viehweg's conjecture, after Campana, Paun, Taji...

Benoît Claudon|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

该论文在假设对数 canonical 线丛为拟有效的情况下，建立了对数 canonical 对对偶对偶丛的半正性，将 Miyaoka 的余切丛一般半正性定理推广至轨道丛情形。关键贡献是通过一种新的叶状 foliation 可积性准则及轨道丛正性定理的推广，证明了 Viehweg 关于极化代数簇模空间双曲性的猜想。

ABSTRACT

Proven by A. Parshin and S. Arakelov in the early 70's, Shafaverich hyperbolicity conjecture states that a family of curves of genus $g\ge2$ parametrized by a non hyperbolic curve (\emph{i.e.} isomorphic to $\mathbb{P}^1$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{C}^*$ or an elliptic curve) has to be isotrivial : the moduli of smooth fibres are constant. In higher dimensions, Viehweg's works on moduli of canonically polarized manifolds led him to generalize this statement in the following way: if a family of canonically polarized manifolds (parametrized by a quasi-projective base) has maximal variation, the base is then of log-general type. It can be thought as an algebraic hyperbolicity property which is expected to hold for the moduli space.Adapting results due to Y. Miyoaka on generic semi-positivity of cotangent bundle to the framework of pairs, F. Campana and M. Păun recently obtained a positive answer to Viehweg's conjecture. We will also take the opportunity of this talk to present the classification of orbifolds as developed in Campana's works. This setting is moreover the right one to state the optimal version of Viehweg's conjecture proven by B. Taji

研究动机与目标

• 将 Miyaoka 的余切丛一般半正性定理推广至对数和轨道丛情形。
• 提出一种基于关于移动类的最小斜率正性的叶状 foliation 代数可积性准则。
• 通过轨道丛正性定理证明 Viehweg 关于极化代数簇模空间双曲性的猜想。
• 将 Campana、Pâun 和 Taji 的结果推广至具有法向相交除子的紧化情形。
• 利用轨道丛技巧，给出 Viehweg-Zuo 定理关于非等变族底空间的全新证明。

提出的方法

• 通过具有法向相交性质且系数属于 [0,1] 的 Q-除子 Δ 定义轨道丛结构，从而在 X 的一个分支覆盖上定义轨道丛余切丛。
• 应用轨道丛版本的 Miyaoka 正性结果，证明轨道丛余切丛的 m 次张量幂任意商丛的行列式为拟有效。
• 提出一种新的叶状 foliation 代数可积性准则：若叶状 foliation 关于移动类的最小斜率为正，则其叶在闭包中为 Zariski 开集，且为有理连通子簇。
• 使用反证法：若对数 canonical 线丛为拟有效但该簇非有理丛，则必存在正斜率叶状 foliation，与 K_X + Δ 的拟有效性矛盾。
• 将轨道丛正性结果应用于极化代数簇族的相对对数余切丛，推出底空间具有最大 Kodaira 维数。
• 利用可动曲线与半稳定层理论分析子丛的斜率，并构造最大正斜率叶状 foliation。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对偶对偶对 (X, Δ) 的对数余切丛是半正的？
• RQ2 叶状 foliation 的可积性能否通过其关于移动类的最小斜率正性来刻画？
• RQ3 K_X + Δ 的拟有效性是否蕴含极化代数簇族底空间具有最大 Kodaira 维数？
• RQ4 Miyaoka 的一般半正性定理如何推广至轨道丛情形？
• RQ5 轨道丛余切丛在证明 Viehweg 关于模空间双曲性的猜想中起什么作用？

主要发现

• 若对偶对偶对 (X, Δ) 满足 K_X + Δ 为拟有效，则其轨道丛余切丛的 m 次张量幂任意商丛的行列式为拟有效，即轨道丛余切丛在半正性意义下为半正。
• 在光滑射影簇上，若叶状 foliation 关于移动类的最小斜率为正，则其为代数可积，且其叶为有理连通子簇。
• Viehweg 关于极化代数簇模空间双曲性的猜想得以解决：若族具有最大变差，则 K_Y + D 具有最大 Kodaira 维数。
• 该证明表明，若一族极化代数簇的底空间为拟射影簇且具有法向相交紧化，则当变差最大时，其底空间为对数一般型。
• 轨道丛版本的 Miyaoka–Campana–Pâun 正性定理提供了研究模空间几何的新工具。
• 该结果将 Campana 关于模堆栈双曲性的猜想推广至具有法向相交边界除子的最大变差族情形。