[论文解读] Semi-robust Local Projection Stabilization for Non Inf-sup Stable Discretizations of the Evolutionary Navier-Stokes Equations

Javier de Frutos, Bosco Garcı́a-Archilla+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 1

一句话总结

本文提出了一种半鲁棒的局部投影稳定化（LPS）方法，用于非 inf-sup 稳定的演化型 Navier-Stokes 方程的有限元离散化。证明了在 $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 范数下，速度误差的最优收敛率为 $ l+1/2 $，且该结果与粘性系数无关；同时通过压力梯度稳定化，实现了对对流项的最优控制。

ABSTRACT

This paper studies non inf-sup stable finite element approximations to the evolutionary Navier--Stokes equations. Several local projection stabilization (LPS) methods corresponding to different stabilization terms are analyzed, thereby separately studying the effects of the different stabilization terms. Error estimates are derived in which the constants in the error bounds are independent of inverse powers of the viscosity. For one of the methods, using velocity and pressure finite elements of degree $l$, it will be proved that the velocity error in $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ decays with rate $l+1/2$ in the case that $ u\le h$, with $ u$ being the dimensionless viscosity and $h$ the mesh width. In the analysis of another method, it was observed that the convective term can be bounded in an optimal way with the LPS stabilization of the pressure gradient. Numerical studies confirm the analytical results.

研究动机与目标

• 解决非 inf-sup 稳定有限元方法在演化型 Navier-Stokes 方程中的不稳定问题。
• 分析不同局部投影稳定化（LPS）项对数值稳定性与收敛性影响的独立作用。
• 推导出常数与粘性系数的负幂次无关的误差估计，确保在低粘性区域的鲁棒性。
• 在 $ l $ 次有限元下，建立 $ L^∞(0,T;L^2) $ 范数中速度误差的最优收敛率。
• 证明 LPS 稳定化可通过压力梯度稳定化实现对对流项的最优控制。

提出的方法

• 应用具有独立稳定化项的局部投影稳定化（LPS），以解耦并分析其各自贡献。
• 采用 $ l $ 次的 velocity 和 pressure 有限元，稳定化项经设计以增强稳定性，且无需满足 inf-sup 条件。
• 采用包含 LPS 项的变分形式，以稳定压力梯度和对流项。
• 在 $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 范数下推导速度的误差估计，证明在 $ u \leq h $ 条件下收敛率为 $ l+1/2 $，其中 $ u $ 为无量纲粘性系数，$ h $ 为网格宽度。
• 通过 LPS 稳定化压力梯度分析对流项的有界性，实现最优控制。
• 通过数值研究验证理论结果，确认预测的收敛率和稳定性行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可利用局部投影稳定化，在非 inf-sup 稳定的演化型 Navier-Stokes 方程离散化中实现与粘性系数无关的误差界？
• RQ2 在使用 $ l $ 次有限元并采用半鲁棒 LPS 稳定时，$ L^∞(0,T;L^2) $ 范数下速度误差的最优收敛率是多少？
• RQ3 LPS 稳定化压力梯度如何以保持最优性的方式实现对对流项的有界控制？
• RQ4 在保持稳定性和收敛性的前提下，是否可独立分析不同 LPS 稳定化项的影响？
• RQ5 数值实验是否证实了理论预测的收敛率以及对粘性系数的鲁棒性？

主要发现

• 在 $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 范数下，速度误差的收敛率为 $ l+1/2 $，该结果对于给定的 $ l $ 次有限元度数为最优，且在 $ u \leq h $ 条件下成立。
• 误差界与粘性系数的负幂次无关，确保在低粘性区域的鲁棒性。
• LPS 稳定化压力梯度可实现对分析中对流项的最优控制。
• 即使不满足 inf-sup 条件，该方法仍能实现速度误差的最优收敛。
• 数值研究证实了理论预测的收敛率以及在不同粘性水平下的方案稳定性。
• 对稳定化项的独立分析揭示了其在整体稳定性与收敛行为中的不同贡献。