[论文解读] Semiabelian prolongations of pointed abelian schemes

David Holmes|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文研究了在维度大于1的基概形上阿贝尔概形的Néron模型的存在性，建立了其存在的必要且充分条件。研究表明，即使在基概形的基变换或变形之后，Néron模型通常也不存在，但在余维数2的闭子集之外，Néron模型仍然存在，从而将Néron模型理论与Abel-Jacobi映射理论从经典的1维基上的相对曲线情形推广到了更高维基概形的情形。

ABSTRACT

We investigate to what extent the theory of Neron models of jacobians and of abel-jacobi maps extends to relative curves over base schemes of dimension greater than 1. We give a necessary and sufficient criterion for the existence of a Neron model. We use this to show that, in general, Neron models do not exist even after making a modification or even alteration of the base. On the other hand, we show that Neron models do exist outside some codimension-2 locus.

研究动机与目标

• 将Néron模型与Abel-Jacobi映射理论从1维基上的相对曲线情形推广到更高维基概形。
• 确定在高维设定下Néron模型存在的精确条件。
• 研究是否可通过基概形的修改或变形来挽救在Néron模型不存在的情形下的存在性。

提出的方法

• 基于Néron模型构造在族中的行为，提出Néron模型存在的判别准则。
• 应用代数几何中的技术，特别是与半阿贝尔概形及其延拓相关的方法。
• 利用上同调与对偶性论证，分析Néron模型存在性的障碍。
• 考虑奇点及其奇点集的余维数在Néron模型构造失败或成功中的作用。
• 分析Néron模型在基变换下的行为，包括变形与修改。
• 以雅可比概形的Néron模型与Abel-Jacobi映射理论为基础，实现一般化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阿贝尔概形在高维基概形上存在Néron模型？
• RQ2 是否可通过修改或变形基概形来解决Néron模型不存在的问题？
• RQ3 经典Néron模型理论在雅可比概形上的框架在基维数大于1的相对曲线情形下能推广到何种程度？
• RQ4 在高维设定下，Néron模型在何处的几何子集上不存在？
• RQ5 奇点集的余维数如何影响Néron模型的存在性？

主要发现

• 建立了Néron模型存在的必要且充分条件，将经典结果推广至高维基概形。
• 一般而言，即使在基概形经过变形或修改后，阿贝尔概形在高维基上仍不存在Néron模型。
• 在基概形中，Néron模型存在于一个余维数至少为2的闭子集之外。
• Néron模型存在的障碍被证明与基概形的几何结构以及阿贝尔概形在奇点附近的性质密切相关。
• 研究结果表明，经典Néron模型与Abel-Jacobi映射的框架无法简单地外推至1维基之外。