[论文解读] Semidefinite representations of gauge functions for structured low-rank matrix decomposition

Hsiao-Han Chao, Lieven Vandenberghe|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文提出了基于矩阵束参数化与广义Kalman-Yakubovich-Popov (KYP)引理由的结构化低秩矩阵分解相关的规范函数与原子范数的半定规划（SDP）表示，推广了先前关于复指数上ℓ¹-范数优化的结果。通过利用矩阵束参数化与广义KYP引理由的联系，本文提供了构造性、基于对偶性的SDP表示证明，适用于由矩阵束零空间定义的集合上的原子范数，从而在超分辨率与阵列处理中实现新应用。

ABSTRACT

This paper presents generalizations of semidefinite programming formulations of 1-norm optimization problems over infinite dictionaries of vectors of complex exponentials, which were recently proposed for superresolution, gridless compressed sensing, and other applications in signal processing. Results related to the generalized Kalman-Yakubovich-Popov lemma in linear system theory provide simple, constructive proofs of the semidefinite representations of the penalty functions used in these applications. The connection leads to several extensions to gauge functions and atomic norms for sets of vectors parameterized via the nullspace of matrix pencils. The techniques are illustrated with examples of low-rank matrix approximation problems arising in spectral estimation and array processing.

研究动机与目标

• 将原子范数的半定规划表示形式从标准ℓ¹-范数与核范数情形推广至更广泛的情形。
• 将SDP表示扩展至由矩阵束零空间参数化的向量集合上的原子范数。
• 利用线性系统理论结果，提供构造性、基于对偶性的半定表示证明。
• 通过结构化原子范数，实现信号处理中新的应用，如无网格压缩感知与谱估计。
• 统一并推广现有针对结构化低秩矩阵逼近问题的SDP表示形式。

提出的方法

• 利用矩阵束 $\lambda G - F$ 的零空间参数化原子集合，推广标准复指数基。
• 将原子范数定义为该集合凸包的规范函数，从而得到一个凸的、正 homogeneous 函数。
• 通过凸对偶性与广义Kalman-Yakubovich-Popov (KYP)引理推导半定表示。
• 利用矩阵束的Kronecker标准型构造对偶SDP的可行解。
• 利用束的广义特征值与特征向量的结构，证明强对偶性与可行性。
• 通过Toeplitz矩阵与信号处理中结构化低秩逼近的实例说明该框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由矩阵束零空间参数化的向量集合所定义的原子范数构造半定表示？
• RQ2 广义Kalman-Yakubovich-Popov引理与凸对偶性如何实现这些范数的构造性SDP表示？
• RQ3 对矩阵束的何种条件可确保对偶SDP中强对偶性与严格可行解的存在？
• RQ4 该框架如何扩展以包含 $\|Ea\| \leq 1$ 而非 $\|a\| = 1$ 的约束？
• RQ5 该方法对谱估计与阵列处理中的低秩矩阵逼近有何影响？

主要发现

• 对于集合 $C = \{a \in \mathbb{C}^n \mid (\mu G - \nu F)a = 0, (\mu, \nu) \in \mathcal{C}\}$，其原子范数可通过带有Toeplitz约束的SDP实现半定表示。
• SDP表示通过凸对偶性与广义KYP引理构造性推导，且在适当条件下保证强对偶性。
• SDP的最优值等于给定结构化集合的规范函数（原子范数）。
• 证明表明，矩阵束 $\lambda G - F$ 的广义特征值必须位于单位圆上，且满足 $q_\Psi(\mu, \nu) < 0$ 以保证严格可行性。
• 该框架将先前关于ℓ¹-范数与核范数逼近的结果推广至更广泛的结构化信号类别。
• 该方法通过为参数化信号词典上的原子范数提供精确的SDP表示，使超分辨率与阵列处理中实现新应用成为可能。