[论文解读] Semigroup approach to the sign problem in quantum Monte Carlo simulations

Zhongchao Wei|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2017

Quantum many-body systems被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于半群的新框架，系统性地识别费米子格点模型中无符号问题的量子蒙特卡罗模拟。通过利用由二次费米子算符指数生成的收缩半群，作者推导出新的充分条件，确保迹非负——从而保证无符号问题的采样。该方法统一了以往基于对称性的方法，并可构造出此前无法解释的无符号问题模型，包括具有配对项和克勒默斯时间反演不变项的模型。

ABSTRACT

We propose a framework based on the concept of the semigroup to understand the fermion sign problem. By using properties of contraction semigroups, we obtain sufficient conditions for quantum lattice fermion models to be sign-problem-free. Many previous results can be considered as special cases of our new results. As a direct application of our new results, we construct a class of sign-problem-free fermion lattice models, which cannot be understood by previous frameworks. This framework also provides an interesting aspect in understanding related quantum many-body systems. We establish a series of inequalities for all the sign-problem-free fermion lattice models that satisfy our sufficient conditions.

研究动机与目标

• 解决在相互作用费米子系统中，量子蒙特卡罗模拟长期存在的费米子符号问题挑战。
• 开发一种系统性、数学上严谨的框架，识别超越现有基于对称性方法的无符号问题模型。
• 将此前分散的框架——如克勒默斯时间反演不变性、马约拉纳反射正定性以及分裂正交群——统一于单一的半群理论结构之下。
• 利用该框架构造出此前无法通过现有方法解释的新一类无符号问题费米子格点模型。
• 建立无符号问题模型中期望值的一般不等式，揭示配分函数和可观测量的更深层次结构特性。

提出的方法

• 将费米子系统的虚时演化形式化为由二次费米子算符指数生成的收缩半群。
• 识别出两类保证费米子高斯积分迹非负的收缩半群（对称型和反对称型J1）。
• 基于复费米子基下赫米特矩阵R和S的正定性，推导出无符号问题的充分条件（公式2和公式3）。
• 利用马约拉纳表示将半群结构与马约拉纳反射正定性及克勒默斯简并性联系起来，统一了以往基于对称性的结果。
• 将该框架应用于构造新的无符号问题模型，包括含配对项、克勒默斯不变跃迁项以及Hubbard-U相互作用的模型。
• 建立一个关于半群元素与锥矩阵交替乘积迹的一般不等式（公式15），证明期望值的非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种统一的数学框架，以超越基于对称性的分类方式，识别无符号问题的费米子格点模型？
• RQ2 由虚时演化生成的收缩半群如何与量子蒙特卡罗中费米子行列式的非负性相关联？
• RQ3 现有无符号问题模型（如具有克勒默斯时间反演不变性或马约拉纳反射正定性的模型）在多大程度上可被视为该半群框架的特例？
• RQ4 利用该框架可构造出哪些此前通过已知方法无法获得的新一类无符号问题模型？
• RQ5 在该新形式化体系下，无符号问题模型中期望值的结构受哪些一般不等式支配？

主要发现

• 本文利用收缩半群，建立了两个新的无符号问题充分条件（公式2和公式3），适用于费米子格点模型。
• 所有此前已知的无符号问题模型——基于克勒默斯时间反演不变性、马约拉纳反射正定性以及分裂正交群——均被统一为所提出半群框架的特例。
• 构造出一类新的无符号问题模型，其包含配对项、克勒默斯不变跃迁项以及吸引性Hubbard-U相互作用，此前的框架无法解释此类模型。
• 该框架揭示，无符号问题模型的配分函数可被解释为收缩半群元素的和，从而提供了更深层次的代数结构。
• 证明了一个一般不等式：对任意正整数m，半群元素与锥矩阵交替乘积的迹非负，即 |tr(h′₁g₁h′₂g₂…h′ₘgₘ)| ≥ 0。
• 证明马约拉纳反射正定性条件等价于两类收缩半群中的一种，为该已知判据提供了新的代数解释。