[论文解读] Semitotal domination in trees

Zhuang, Wei, Hao, Guoliang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

本文建立了树中半总支配数的下界，证明了 γₜ₂(T) ≥ 2(n − l + 2)/5，其中 n 为顶点数，l 为叶节点数。本文完全刻画了支配数 γ(T) 等于半总支配数 γₜ₂(T) 的树，表明这些树恰好是通过从单个顶点出发应用四种特定操作构造而成的树。

ABSTRACT

In this paper, we study a parameter that is squeezed between arguably the two important domination parameters, namely the domination number, $γ(G)$, and the total domination number, $γ_t(G)$. A set $S$ of vertices in $G$ is a semitotal dominating set of $G$ if it is a dominating set of $G$ and every vertex in S is within distance $2$ of another vertex of $S$. The semitotal domination number, $γ_{t2}(G)$, is the minimum cardinality of a semitotal dominating set of $G$. We observe that $γ(G)\leq γ_{t2}(G)\leq γ_t(G)$. In this paper, we give a lower bound for the semitotal domination number of trees and we characterize the extremal trees. In addition, we characterize trees with equal domination and semitotal domination numbers.

研究动机与目标

• 为树中的半总支配数建立一个非平凡的下界。
• 刻画所有满足支配数 γ(T) 等于半总支配数 γₜ₂(T) 的树。
• 识别出达到半总支配数下界的极值树。
• 通过在根树上应用四种特定操作，提供一种构造性刻画 (γ, γₜ₂)-树的方法。

提出的方法

• 对树 T 中的顶点数 n 使用数学归纳法，基础情况为小规模的 n ≤ 8。
• 应用观察 2.1，确保存在一个不包含叶节点的 γₜ₂-集合，从而简化结构分析。
• 分析直径至少为 4 的树中的最长路径，重点关注顶点的度数和邻接结构。
• 通过移除顶点或子树进行结构分解，并分析所得结果中 γₜ₂ 和 γ 的值。
• 引入四种操作（O₁–O₄），基于顶点的度数和邻居类型，从较小的树生成所有 (γ, γₜ₂)-树。
• 使用归纳推理证明，任何 (γ, γₜ₂)-树都必须可通过这些操作构造而成。

实验结果

研究问题

• RQ1 以 n 和 l 表示时，树中半总支配数的最佳可能下界是什么？
• RQ2 哪些树满足 γ(T) = γₜ₂(T)，并且如何从结构上刻画它们？
• RQ3 所有满足支配数与半总支配数相等的树是否都能通过有限组构造性操作生成？
• RQ4 γₜ₂-集合中顶点的度数和邻居配置如何限制树的整体结构？

主要发现

• 任何树 T 的半总支配数满足 γₜ₂(T) ≥ 2(n(T) − l(T) + 2)/5，且等号成立当且仅当 T 为极值树。
• 所有满足 γ(T) = γₜ₂(T) 的树恰好是通过从单个顶点出发应用四种特定操作（O₁–O₄）构造而成的树。
• 达到下界的极值树恰好是那些每个支撑点度数为 2 且树结构满足推导不等式等号成立的树。
• 树的 γₜ₂-集合总可选取为不包含叶节点，从而简化结构分析。
• (γ, γₜ₂)-树的刻画是完整且构造性的：此类树恰好是通过四种操作生成的集合 O 中的树。
• 证明依赖于归纳分解：移除特定顶点或子树后，剩余树中 γ = γₜ₂ 的等式关系得以保持。