[论文解读] Sensitivity analysis and incompressible Navier-Stokes-Poisson limit of Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with uncertainty

Ning Jiang, Xu Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2020

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 39被引用 5

一句话总结

该论文通过基于次可微性的敏感性分析，建立了初始数据和碰撞核中存在随机不确定性的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程在不可压缩Navier-Stokes-Poisson极限下的严格结果。该研究首次在不依赖Hilbert展开法的前提下，实现了对流体极限的严格、定量收敛速率分析，将确定性流体极限推广至随机情形，涵盖动能-流体混合初始数据。

ABSTRACT

For the Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, we proved the sensitivity analysis and energy estimates uniformly with respect to the Knudsen number in the diffusive scaling using hypocoercivity method. As a consequence, we also justified the incompressible Navier-Stokes-Poisson limit with random inputs. In particular, for the first time, we obtain the precise convergence rate {\em without} employing any results based on Hilbert expansion. We not only generalized the previous deterministic Navier-Stokes-Poisson limits to random initial data case, also improve the previous uncertainty quantification results to the case where the initial data include both kinetic and fluid parts.

研究动机与目标

• 在扩散标度下，证明Vlasov-Poisson-Boltzmann系统在初始输入具有随机性时的不可压缩Navier-Stokes-Poisson极限。
• 利用Knudsen数一致的能量估计，对初始数据和碰撞核中的不确定性进行敏感性分析。
• 将确定性Navier-Stokes-Poisson极限推广至包含动能与流体两部分的随机初始数据情形。
• 在不使用Hilbert展开技术的前提下，建立对流体极限的精确收敛速率。

提出的方法

• 采用次可微性方法，推导在Knudsen数ε中一致的误差估计。
• 通过线性化方程分析解对初始数据和碰撞核中随机扰动的敏感性。
• 利用Vlasov-Poisson-Boltzmann系统的扩散标度，实现从动能到流体动力学的连接。
• 应用傅里叶分析与Plancherel定理，估计扰动展开中非线性项的$L^2$范数。
• 将非线性项$N_1(g_\rho)$分解为低频与高频分量，以控制极限过程中的误差。
• 通过时间方向的分部积分与解析延拓估计，控制由线性化算子产生的振荡积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机不确定性下，Vlasov-Poisson-Boltzmann系统向不可压缩Navier-Stokes-Poisson方程的收敛速率为何？
• RQ2 对于包含动能与流体两部分的随机初始数据，是否可证明Navier-Stokes-Poisson极限的合理性？
• RQ3 是否可能在不依赖Hilbert展开法的前提下获得定量收敛速率？
• RQ4 初始数据与碰撞核中的不确定性如何影响系统的长期行为及流体极限？

主要发现

• 论文建立了在随机初始数据与碰撞核下，Vlasov-Poisson-Boltzmann系统向不可压缩Navier-Stokes-Poisson方程的极限，且该结果在Knudsen数ε中一致成立。
• 在不使用Hilbert展开法的前提下，获得了流体极限的精确收敛速率$\mathcal{O}(\epsilon)$，这是本研究的创新性贡献。
• 通过在ε中一致的误差估计，量化了解对随机输入的敏感性，确保了在不确定性下流体极限的鲁棒性。
• 该方法将先前的确定性流体极限推广至随机情形，涵盖同时包含动能与流体部分的初始数据，此前尚未被解决。
• $L^2$范数下的极限误差项被控制在$\mathcal{O}(\epsilon)$以内，证实了在能量空间中的收敛速率。
• 分析结果确认了Navier-Stokes-Poisson系统作为含不确定性动能系统的宏观极限的有效性，且具有严格的误差控制。