[论文解读] Sensitivity Analysis of an Inverse Problem for the Wave Equation with Caustics

Gang Bao, Hai Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文为从边界测量反演波动方程中速度场的逆问题建立了局部稳定性估计，即使存在折叠焦散线（fold caustics）的情形下亦成立。通过引入具有矩阵权值的测地线X射线变换，并借助傅里叶积分算子理论，作者证明了在折叠正则性条件下，Dirichlet-to-Neumann映射的小扰动意味着速度场的小扰动。

ABSTRACT

The paper investigates the sensitivity of the inverse problem of recovering the velocity field in a bounded domain from the boundary dynamic Dirichlet-to-Neumann map (DDtN) for the wave equation. Three main results are obtained: (1) assuming that two velocity fields are non-trapping and are equal to a constant near the boundary, it is shown that the two induced scattering relations must be identical if their corresponding DDtN maps are sufficiently close; (2) a geodesic X-ray transform operator with matrix-valued weight is introduced by linearizing the operator which associates each velocity field with its induced Hamiltonian flow. A selected set of geodesics whose conormal bundle can cover the cotangent space at an interior point is used to recover the singularity of the X-ray transformed function at the point; a local stability estimate is established for this case. Although fold caustics are allowed along these geodesics, it is required that these caustics contribute to a smoother term in the transform than the point itself. The existence of such a set of geodesics is guaranteed under some natural assumptions in dimension greater than or equal to three by the classification result on caustics and regularity theory of Fourier Integral Operators. The interior point with the above required set of geodesics is called "fold-regular"; (3) assuming that a background velocity field with every interior point fold-regular is fixed and another velocity field is sufficiently close to it and satisfies a certain orthogonality condition, it is shown that if the two corresponding DDtN maps are sufficiently close then they must be equal.

研究动机与目标

• 解决当底层度量非简单时，逆波传播问题的敏感性，特别是存在焦散线的情形。
• 将稳定性结果拓展至标准的“简单度量”假设之外，后者排除了焦散线与折叠奇点。
• 通过引入具有新奇矩阵权值的X射线变换，建立在存在折叠焦散线情况下的局部稳定性估计框架。
• 刻画在哈密顿流因几何结构产生奇点时，速度场恢复过程的正则性。
• 确立当Dirichlet-to-Neumann映射的小变化能导致恢复速度场的小变化时的条件。

提出的方法

• 线性化从速度场到其诱导哈密顿流的算子，导出具有矩阵权值的测地线X射线变换。
• 引入“折叠正则”内点的概念，即一组具有受控折叠焦散线的测地线可覆盖余切空间。
• 利用高斯束拟模态构造微局部参数解，并通过振荡积分估计分析其相互作用。
• 应用傅里叶积分算子理论分析X射线变换的正则性，并在折叠正则性条件下推导稳定性估计。
• 通过渐近展开与误差界估计，估计高斯束分量及其导数的 $ L^2 $-范数差。
• 通过在 $ ho = rac{1}{ ext{频率}} $ 下呈现 $ rac{1}{ ho} $ 型衰减，建立X射线变换的 $ L^2 $-稳定性，其中 $ ho = rac{1}{ ext{频率}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当速度场导致折叠焦散线时，能否为波动方程逆问题建立稳定性估计？
• RQ2 在速度场的何种几何条件下，Dirichlet-to-Neumann映射可唯一确定速度场（至小扰动）？
• RQ3 折叠焦散线的存在如何影响波传播逆问题的正则性与稳定性？
• RQ4 具有矩阵权值的测地线X射线变换是否能在焦散线存在时仍能恢复速度场的奇点？
• RQ5 在何种条件下，若两个速度场对应的Dirichlet-to-Neumann映射足够接近，则可断定其速度场完全相同？

主要发现

• 若两个非捕获速度场在边界附近恒等于常数，且其对应的Dirichlet-to-Neumann映射足够接近，则其诱导的散射关系必须完全相同。
• 引入了一类具有矩阵权值的测地线X射线变换，并在折叠正则点处建立了局部稳定性估计。
• 允许测地线上存在折叠焦散线，只要其对变换的贡献项比该点本身更光滑。
• 在自然假设下，通过焦散线分类与傅里叶积分算子正则性理论，可保证在维度 $ d \geq 3 $ 时存在满足折叠正则性条件的测地线集合。
• 对于一个固定背景速度场，若其所有内点均为折叠正则点，且另一速度场足够接近并满足正交性条件，则Dirichlet-to-Neumann映射相等可推出速度场相等。
• 扰动与未扰动高斯束分量之间差的 $ L^2 $-范数以 $ \frac{1}{\rho} $ 速率衰减，其中 $ \rho = \frac{1}{\text{频率}} $，从而证实了参数解构造的稳定性。