[论文解读] Separating Geometric Thickness from Book Thickness

David Eppstein|ArXiv.org|Sep 24, 2001

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文通过构造一族图 $G_k$，证明了几何厚度与书本厚度并非渐近等价：该族图的几何厚度恰好为 2，而其书本厚度随 $k$ 增大而无界增长。构造方法基于完全图的边细分，并运用拉姆齐理论证明书本厚度无界，表明有界的几何时厚并不蕴含有界的书本厚度。

ABSTRACT

We show that geometric thickness and book thickness are not asymptotically equivalent: for every t, there exists a graph with geometric thickness two and book thickness >= t.

研究动机与目标

• 研究几何厚度与书本厚度是否渐近等价。
• 解决有界几何厚度是否蕴含有界书本厚度这一开放问题。
• 构造显式图族，以区分这两个图参数。

提出的方法

• 将 $G_k$ 定义为将完全图 $K_k$ 的每条边细分为两条边的路径所形成的图。
• 使用直线段在两层中嵌入 $G_k$：将原图顶点 $v_i$ 置于坐标 $(i, i+1)$，并在层间插入中间顶点于 $(j+1, i)$ 以实现跨层边的路由。
• 运用拉姆齐理论分析书本嵌入：根据 $G_k$ 的书本嵌入中所用的层对，对 $K_k$ 的边进行划分。
• 应用引理 1（拉姆齐型结果）证明：若书本厚度有界，则在两层书本嵌入中将存在一个 $K_5$ 子图，这与 $G_5$ 的非平面性矛盾。
• 通过拉姆齐构造中的参数 $c = \binom{t-1}{2}$（即层对的数量），建立 $G_k$ 的书本厚度随 $k$ 增大而增长的结论。
• 基于基于块的分层策略，推测上界 $\mathrm{bt}(G_k) = O(\sqrt{k})$ 是紧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何厚度是否与书本厚度渐近等价？
• RQ2 是否存在具有有界几何厚度但无界书本厚度的图？
• RQ3 几何厚度与书本厚度之间的渐近关系是什么？
• RQ4 是否存在两层直线绘图是否蕴含有界书本厚度？
• RQ5 对于几何厚度较低的图，书本厚度的下界有多强？

主要发现

• 对每个正整数 $t$，存在图 $G_k$，使得其书本厚度 $\mathrm{bt}(G_k) \geq t$。
• 对所有 $k \geq 5$，其几何厚度 $\bar{\theta}(G_k) = 2$，表明几何厚度有界。
• 该构造依赖于将 $K_k$ 的边细分为两段路径，形成一个含 $k + \binom{k}{2}$ 个顶点和 $2\binom{k}{2}$ 条边的图。
• 通过拉姆齐理论导出矛盾：若书本厚度被 $t-1$ 有界，则 $K_5$ 子图将可嵌入两层中，但 $G_5$ 非平面，因此至少需要三层。
• 本文建立书本厚度的上界 $\mathrm{bt}(G_k) = O(\sqrt{k})$，并推测该界是紧的。
• 结果表明，几何厚度与书本厚度并非渐近等价，从而解决了图绘制领域长期存在的一个开放问题。