[论文解读] Separating regular languages with two quantifier alternations

Thomas Place|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

semigroups and automata theory被引用 5

一句话总结

本文证明了任意具有有限基的连接层次结构中第 $\frac{3}{2}$ 层的分离问题的可判定性，以及在特定的点深度层次结构中第 $\frac{5}{2}$ 层的分离问题的可判定性。通过构建基于乘法评分映射和最优带点印记的新框架，本文为词上 $\Sigma_3$ 一阶逻辑提供了求解方案。

ABSTRACT

We investigate a famous decision problem in automata theory: separation. Given a class of language C, the separation problem for C takes as input two regular languages and asks whether there exists a third one which belongs to C, includes the first one and is disjoint from the second. Typically, obtaining an algorithm for separation yields a deep understanding of the investigated class C. This explains why a lot of effort has been devoted to finding algorithms for the most prominent classes. Here, we are interested in classes within concatenation hierarchies. Such hierarchies are built using a generic construction process: one starts from an initial class called the basis and builds new levels by applying generic operations. The most famous one, the dot-depth hierarchy of Brzozowski and Cohen, classifies the languages definable in first-order logic. Moreover, it was shown by Thomas that it corresponds to the quantifier alternation hierarchy of first-order logic: each level in the dot-depth corresponds to the languages that can be defined with a prescribed number of quantifier blocks. Finding separation algorithms for all levels in this hierarchy is among the most famous open problems in automata theory. Our main theorem is generic: we show that separation is decidable for the level 3/2 of any concatenation hierarchy whose basis is finite. Furthermore, in the special case of the dot-depth, we push this result to the level 5/2. In logical terms, this solves separation for $Σ_3$: first-order sentences having at most three quantifier blocks starting with an existential one.

研究动机与目标

• 解决连接层次结构中第 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{5}{2}$ 层分离问题这一长期悬而未决的开放问题。
• 将可判定性结果从成员关系扩展到词上一阶逻辑的量化交替层次结构中的分离问题。
• 基于乘法评分映射和最优带点印记，开发一个处理多项式与布尔闭包的通用框架。
• 建立连接层次结构中的分离问题与 $\Sigma_3$ 一阶逻辑中逻辑可定义性之间的联系。
• 通过转移与约化技术，为更高层次的覆盖问题与成员关系问题的求解奠定基础。

提出的方法

• 引入乘法评分映射作为分析连接层次结构中语言类的结构性工具。
• 通过评分映射，定义并刻画 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ 和 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ 类的最优带点印记。
• 利用 $PBPol(\mathcal{C})$-饱和集以及对下集的封闭性，确保分离构造的正确性。
• 应用同态 $\tau$，将因子化森林的结构性质转化为幂等元上的代数条件。
• 采用有界高度的 $\eta$-因子化森林与幂等元高度，以控制语言构造的复杂度。
• 借助 [PZ15a] 中的转移结果与 [PZ14] 中的约化定理，将分离结果推广至 $\Sigma_4$ 的成员关系问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有限基的任意连接层次结构，第 $\frac{3}{2}$ 层的分离问题是否可判定？
• RQ2 在点深度层次结构中，第 $\frac{5}{2}$ 层的分离问题是否可解？
• RQ3 乘法评分映射与最优带点印记的框架是否能为 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ 和 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ 提供通用的分离求解方案？
• RQ4 分离问题的结果能否被提升至量化交替层次结构中更高层次的成员关系问题？
• RQ5 是否可以将 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$-最优带点印记的刻画推广至非良好数乘法评分映射之外？

主要发现

• 对于具有有限基的任意连接层次结构，第 $\frac{3}{2}$ 层的分离问题是可判定的。
• 在点深度层次结构中，第 $\frac{5}{2}$ 层的分离问题是可判定的，该层对应于词上的 $\Sigma_3$ 一阶逻辑。
• 该解决方案依赖于对所有乘法评分映射均有效的 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$-最优带点印记的刻画。
• 通过将框架限制于良好数乘法评分映射，可将其扩展至 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$，从而支持分离语言的构造。
• 结果表明，通过已知的约化技术，$\Sigma_4(<)$ 和 $\Sigma_4(<,+1,min,max,\varepsilon)$ 的成员关系问题具有可判定性。
• 该方法不仅提供了可判定性，还通过以支持进一步扩展的方式刻画最优印记，建立了比单纯可判定性更强的基础。