[论文解读] Sequences in non-commutative L^p-spaces

Narcisse Randrianantoanina|ArXiv.org|Apr 24, 2000

Advanced Banach Space Theory参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文通过在非交换设置中引入等度可积性，将Kadec-Pe{ extbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski子序列分解推广到非交换$L^p$-空间。证明了在$E(\mathcal{M},\tau)$中每个有界序列，其中$E$是具有$\alpha$-凸性和常数为1的下$q$-估计的重新排列不变拟范数函数空间，可分解为一个$E$-等度可积子序列与一个具有两两不相交谱投影的子序列。这表明，对于$1\leq p<\infty$，$L^p(\mathcal{M},\tau)$的每个子空间要么包含$\ell^p$的几乎等距拷贝，要么在$L^p(\mathcal{M},\tau)$中强嵌入。

ABSTRACT

Let $\cal M$ be a semi-finite von Neumann algebra equipped with a distinguished faithful, normal, semi-finite trace $τ$. We introduce the notion of equi-integrability in non-commutative spaces and show that if a rearrangement invariant quasi-Banach function space $E$ on the positive semi-axis is $α$-convex with constant 1 and satisfies a non-trivial lower $q$-estimate with constant 1, then the corresponding non-commutative space of measurable operators $E({\cal M}, τ)$ has the following property: every bounded sequence in $E({\cal M}, τ)$ has a subsequence that splits into a $E$-equi-integrable sequence and a sequence with pairwise disjoint projection supports. This result extends the well known Kadec-Pełczyński subsequence decomposition for Banach lattices to non-commutative spaces. As applications, we prove that for $1\leq p

研究动机与目标

• 将经典的Kadec-Pe{\textbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski子序列分解推广到可测算子的非交换对称空间。
• 在非交换$L^p$-空间中定义并利用等度可积性，作为弱紧致性的非交换类比。
• 将$1\leq p<\infty$时非交换$L^p(\mathcal{M},\tau)$的子空间表征为：要么包含$\ell^p$的几乎等距拷贝，要么是强嵌入的。
• 为满足$\alpha$-凸性和常数为1的下$q$-估计的拟范数函数空间建立分裂性质。
• 将交换$L^p$-空间的结果扩展到非交换设置，特别是针对$0<p<\infty$。

提出的方法

• 基于Akemann对冯诺依曼代数对偶中弱紧致性的刻画，引入基于非交换的等度可积性概念。
• 使用广义的奇异值函数$\mu_t(x)$来定义$\widetilde{\mathcal{M}}$中可测算子$x$的递减重排。
• 应用由$d(x,y) = \inf\{t \geq 0 : \mu_t(x-y) \leq t\}$定义的$\widetilde{\mathcal{M}}$上的测度拓扑，以分析收敛性和等度可积性。
• 使用谱投影$e^{\vert x\vert}(B)$并构造递减的投影序列$p_n \downarrow 0$，将算子分解为不相交和等度可积的部分。
• 构造子序列$\{x_{n_k}\}$，使得$x_{n_k} = \varphi_k + \zeta_k$，其中$\{\varphi_k\}$是$E$-等度可积的，且$\{\zeta_k\}$具有两两不相交的谱投影。
• 利用$E$的Fatou性质和序连续性，确保此类分解的存在，从而推广了Banach格理论的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kadec-Pe{\textbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski子序列分解能否推广到$0 < p < \infty$时的非交换$L^p$-空间？
• RQ2 何种非交换等度可积性类比能确保在非交换对称空间中实现弱紧致性和子序列分裂？
• RQ3 在何种重新排列不变函数空间$E$的条件下，其对应的非交换对称空间$E(\mathcal{M},\tau)$可实现子序列分解为等度可积部分与不相交投影部分？
• RQ4 对于$1 \leq p < \infty$，$L^p(\mathcal{M},\tau)$的每个子空间是否要么包含$\ell^p$的几乎等距拷贝，要么是强嵌入的？
• RQ5 是否存在Kalton和Rosenthal结果在非交换情形下的类比，即$\ell^p$在$p<2$时不强嵌入于$L^p[0,1]$？

主要发现

• 在$E(\mathcal{M},\tau)$中每个有界序列，其中$E$是具有$\alpha$-凸性和常数为1的下$q$-估计的重新排列不变拟范数函数空间，均存在一个子序列，可分解为一个$E$-等度可积部分与一个具有两两不相交谱投影的部分。
• 对于$1 \leq p < \infty$，$L^p(\mathcal{M},\tau)$的每个子空间要么包含$\ell^p$的几乎等距拷贝，要么在$L^p(\mathcal{M},\tau)$中强嵌入，推广了交换情形的结果。
• 该结果适用于满足常数为1的$\alpha$-凸性且具有非平凡常数为1的下$q$-估计的拟范数空间，扩展了对巴拿赫空间的适用范围。
• 该分解在测度拓扑下是稳定的，依赖于构造递减投影序列$p_n \downarrow 0$，使得$\|x_{n_k} - (p_{n_k} - p_{n_{k+1}})x_{n_k}(p_{n_k} - p_{n_{k+1}})\|_{E(\mathcal{M},\tau)} \to 0$。
• 证明表明，定义为$\varphi_k = y_{n_k} + [z_{n_k} - e_k z_{n_k} e_k]$的$\{\varphi_k\}$是$E$-等度可积的，且$\{e_k\}$是相互不相交的投影。
• 对于有限冯诺依曼代数和$p > 2$，$L^p(\mathcal{M},\tau)$的每个子空间要么包含$\ell^p$的几乎等距拷贝，要么同构于希尔伯特空间。