[论文解读] Series with summands involving harmonic numbers

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Advanced Mathematical Identities被引用 10

一句话总结

本文提出了关于阶数不超过三的调和数的无穷级数的66个猜想，特别关注包含中心二项式系数的拉马努金型级数。它推导出涉及π、ζ(3)和卡塔兰常数G的精确求值，并提出了模p^4或更高的p进同余式，其灵感来源于已知的级数恒等式和模形式。

ABSTRACT

For each positive integer $m$, the $m$th order harmonic numbers are given by $$H_n^{(m)}=\sum_{0

研究动机与目标

• 发现涉及阶数不超过三的调和数的无穷级数的精确闭式求值。
• 将拉马努金型级数1/π和π扩展至包含调和数修正项。
• 提出并支持此类级数模p^4或更高的p进同余式，灵感来自范·哈姆梅的猜想。
• 统一并推广涉及中心二项式系数和调和和的已知恒等式。
• 探索L函数、zeta函数的特殊值与含调和项的组合级数之间的联系。

提出的方法

• 利用生成函数和超几何恒等式，特别是涉及∑(6k+1) binom(2k,k)^3 x^k的恒等式。
• 应用arcsin(x/2)及其幂的已知级数展开式，推导出涉及H_n^(2)和H_n^(3)的恒等式。
• 运用p进L函数理论和q-类比，提出模p^4或更高的猜想同余式。
• 依赖符号计算和模式识别，基于已知结果和数值证据提出新恒等式。
• 使用广义超几何函数和反中心二项式系数级数推导闭式表达。
• 引入涉及H_{mk}和H_k的加权调和和表达式，以建模拉马努金型级数中的修正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于形如∑(6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(3)} - c H_k^{(3)})的级数，可以推导出哪些精确闭式？
• RQ2 对于奇素数p，包含中心二项式系数的调和级数模p^4的p进同余式行为如何？
• RQ3 涉及H_n^{(2)}和H_n^{(3)}的恒等式能否推广至拉马努金型级数中的更高阶调和数？
• RQ4 闭式中的对数项与级数分母中的代数数之间存在何种关系？
• RQ5 所提出的p进同余式是否反映了与模形式或L函数特殊值的更深层次联系？

主要发现

• 本文猜想：∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(3)} - 7/64 H_k^{(3)}) = 25ζ(3)/(8π) - G，其中G为卡塔兰常数。
• 它提出：∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / (-512)^k (H_{2k}^{(2)} - 5/16 H_k^{(2)}) = -√2 π / 48。
• 对于级数∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(2)} - 5/16 H_k^{(2)})，其精确值为π/12。
• 本文猜想：∑_{k=0}^∞ (1640k^2 + 278k + 15) binom(2k,k)^2 binom(3k,k) binom(4k,2k) binom(6k,3k) / (-2^{22}3^3)^k × [(1640k^2 + 278k + 15)H(k) + 3280k + 278] = 256 / (√3 π²) log(2^{22}3^3)。
• 对于素数p > 3，p进同余式∑_{k=0}^{p-1} [...] ≡ (3/p)(278p + 15p² q_p(2^{22}3^3) - 15/2 p³ q_p(2^{22}3^3)^2) mod p^4 成立。
• 本文猜想：∑_{k=0}^∞ (1920k^2 + 304k + 15) binom(2k,k)^3 binom(4k,2k) binom(8k,4k) / (2^{18}7^4)^k × [(1920k^2 + 304k + 15)ℋ(k) + 1920k + 152] = 56√7 / π² (9 log 2 + 2 log 7)。