[论文解读] Set families with forbidden subposets

Linyuan Lü, Kevin G. Milans|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了避免诱导子偏序集的集合族的图兰阈值的新上界，特别是证明了任意 $2^{[2]}$-自由族的 Lubell 质量至多为 $2.5823284 + o(1)$，优于诱导偏序集情形下的先前上界。作者使用基于最大链上概率平均的加权链计数方法推导出这些上界，表明诱导图兰问题在本质上比扩展变体更复杂。

ABSTRACT

Let $F$ be a family of subsets of $\{1,\ldots,n\}$. We say that $F$ is $P$-free if the inclusion order on $F$ does not contain $P$ as an induced subposet. The \emph{Turán function} of $P$, denoted $π^*(n,P)$, is the maximum size of a $P$-free family of subsets of $\{1,\ldots,n\}$. We show that $π^*(n,P) \le (4r + O(\sqrt{r}))\binom{n}{n/2}$ if $P$ is an $r$-element poset of height at most $2$. We also show that $π^*(n,S_r) = (r+O(\sqrt{r}))\binom{n}{n/2}$ where $S_r$ is the standard example on $2r$ elements, and that $π^*(n,B_2) \le (2.583+o(1))\binom{n}{n/2}$, where $B_2$ is the $2$-dimensional Boolean lattice.

研究动机与目标

• 确定 $[n]$ 的子集族的最大大小，该族不包含给定偏序集 $P$ 作为诱导子偏序集，以图兰阈值 $\pi^*(P)$ 衡量。
• 将极值集合论中图兰型问题的已知结果扩展到诱导偏序集情形，其中包含关系比扩展变体更严格。
• 弥合关于 $2$-维布尔代数格 $2^{[2]}$ 的图兰阈值的已知下界与上界之间的差距，该格对应于禁止的钻石偏序集。
• 表明在扩展情形下有效的 Lubell 型论证，在诱导情形下无法将上界改进至 $2.25$ 以上，凸显了两种问题之间的根本差异。

提出的方法

• 在布尔格 $2^{[n]}$ 上使用加权方案，其中每个集合 $A$ 被赋予权重 $1/\binom{n}{|A|}$，从而通过随机最大链实现概率解释。
• 定义 Lubell 质量 $\ell(\mathcal{F}) = \sum_{A \in \mathcal{F}} \frac{1}{\binom{n}{|A|}}$，其表示在随机最大链中属于 $\mathcal{F}$ 的集合的期望数量。
• 将族 $\mathcal{F}$ 划分为集合 $\mathcal{G}$（$\mathcal{F}$ 中的单元素集）和 $\mathcal{M}_k$（满足特定结构约束的大小为 $k$ 的集合），并分别界定各部分对 Lubell 质量的贡献。
• 利用序列 $a_k = \ell_A^-(\mathcal{F})$（即 $\mathcal{F} \cap [\emptyset, A]$ 中集合的数量）来界定大小为 $k$ 的集合对 Lubell 质量的最大可能贡献。
• 定义事件 $\mathcal{E}_{i,j}$：$\mathcal{F} \cap \mathcal{C}$ 中的最大集合位于第 $i$ 至 $j$ 层，通过在固定单元素集集合 $S$ 上使用容斥原理来界定其概率。
• 通过优化关于 $x = |T|/n$（其中 $T = [n] \setminus S$）的多项式表达式，导出 $\ell(\mathcal{F})$ 的最紧上界，从而得出最终的阈值估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于避免 $2^{[2]}$ 作为诱导子偏序集的族 $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$，其 Lubell 质量的上确界是多少？
• RQ2 对于高度为 2 的偏序集，特别是标准例子 $S_r$ 和钻石偏序集 $2^{[2]}$，图兰阈值 $\pi^*(P)$ 的行为如何？
• RQ3 在扩展包含情形下有效的 Lubell 型论证，能否用于改进诱导子偏序集情形下的上界？
• RQ4 在 $2^{[2]}$ 等偏序集的情形下，诱导与扩展变体的图兰问题之间是否存在根本性的复杂度差异？
• RQ5 仅使用链权重法与概率平均技术，$2^{[2]}$-自由族的 $\ell(\mathcal{F})$ 的最佳可能上界是什么？

主要发现

• 对于 $2$-维布尔代数格 $2^{[2]}$，其图兰阈值满足 $\pi^*(2^{[2]}) \leq 2.5823284$，优于诱导偏序集情形下的先前上界。
• 对于任意 $r$-元素高度不超过 2 的偏序集 $P$，本文证明 $\mathrm{La}^*(n,P) \leq (4r + O(\sqrt{r})) \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$，建立了与 $r$ 的线性依赖关系。
• 对于标准例子 $S_r$，图兰阈值为 $\pi^*(S_r) = r + O(\sqrt{r})$，表明阈值随 $r$ 线性增长。
• 任意 $2^{[2]}$-自由族的 Lubell 质量至多为 $2.5823284 + o(1)$，且在给定方法下该上界是紧的，表明 Lubell 型论证无法超越此值。
• 结果表明，诱导图兰问题在本质上比扩展变体更复杂，因为在诱导情形下最佳已知上界（$2.582$）超过扩展情形下最佳已知上界（$2.25$），且任何基于 Lubell 的方法都无法弥合这一差距。
• 分析表明，当非单元素集的比例 $x = |T|/n$ 约为 $0.687$ 时，Lubell 质量达到最大值，表明最优构造中关键集合的分布是非均匀的。