[论文解读] Several explicit formulae of sums and hyper-sums of powers of integers

Fouad Bounebirat, Diffalah Laissaoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用第二类斯特林数和广义伯努利多项式，为等差数列中整数的幂和与超和提供了显式公式。推导了生成函数和闭式表达式，将经典结果扩展至具有一般参数 a（首项）和 d（公差）的等差数列，为数论与组合数学提供了新的计算工具。

ABSTRACT

In this paper, we present several explicit formulas of the sums and hyper-sums of the powers of the first (n+1)-terms of a general arithmetic sequence in terms of Stirling numbers and generalized Bernoulli polynomials.

研究动机与目标

• 推导一般等差数列前 (n+1) 项的 p 次幂和的显式闭式表达式。
• 将经典幂和结果推广至此类数列的超和（迭代和）。
• 通过第二类斯特林数和广义伯努利多项式表达这些和，以增强其适用性。
• 提供统一并推广已知幂和与超和结果的生成函数。
• 通过指数生成函数建立超和与广义伯努利多项式之间的联系。

提出的方法

• 利用恒等式 $ \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}(n) \frac{z^p}{p!} = \sum_{k=0}^n e^{(a+kd)z} $，推导出 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 的指数生成函数。
• 利用加权斯特林数 $ \mathcal{S}_n^k(x) $ 的生成函数，将 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 表示为 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $。
• 通过 $ W_{m,r}(n,i) $ 建立和与第二类 r-惠特尼数之间的联系，导出涉及 $ W_{a,d}(p,k) $ 的公式。
• 推导出超和 $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ 的双重生成函数，表明 $ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $。
• 利用广义伯努利多项式 $ B_n^{(\alpha)}(x) $ 表达超和，得到 $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $。
• 通过验证当 $ r = 0 $ 时，超和公式退化为经典伯努利多项式恒等式，从而验证结果的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式表达一般等差数列前 $ n+1 $ 项的 $ p $ 次幂和？
• RQ2 加权第二类斯特林数在参数化等差数列幂和中起什么作用？
• RQ3 第二类 $ r $-惠特尼数如何与幂的超和结构相关联？
• RQ4 能否为等差数列中幂的超和推导出双重生成函数？
• RQ5 如何用广义伯努利多项式显式表达超和？

主要发现

• 和 $ S_{p,(a,d)}(n) $ 显式给出为 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \mathcal{S}_p^k\left(\frac{a}{d}\right) $，其中 $ \mathcal{S}_p^k(x) $ 为加权第二类斯特林数。
• 当 $ d \mid a $ 时，和简化为 $ d^p \sum_{k=0}^p k! \binom{n+1}{k+1} \genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{p + \frac{a}{d}}{k + \frac{a}{d}}_{\frac{a}{d}} $，与 $ r $-斯特林数建立联系。
• 当 $ a $ 与 $ d $ 互素时，和通过 $ r $-惠特尼数表达为：$ S_{p,(a,d)}(n) = \sum_{k=0}^p k! d^k \binom{n+1}{k+1} W_{a,d}(p,k) $。
• 超和 $ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) $ 具有双重生成函数 $ \sum_{r \geq 0} \sum_{p \geq 0} S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) \frac{z^p}{p!} t^r = \frac{e^{az} - (1-t)^{n+1} e^{(a+(n+1)d)z}}{(1-t)^{n+1}(1 - (1-t)e^{dz})} $。
• 超和通过广义伯努利多项式显式表达为：$ S_{p,(a,d)}^{(r)}(n) = \frac{p! d^p}{(p+r+1)!} B_{p+r+1}^{(r+1)}\left(\frac{a}{d} + r + n + 1\right) - \sum_{k=0}^r \binom{n+k}{k} \frac{p! d^p}{(p+r+1-k)!} B_{p+r+1-k}^{(r-k+1)}\left(\frac{a}{d} + r - k\right) $。
• 当 $ r = 0 $ 时，超和公式退化为经典恒等式 $ S_{p,(a,d)}(n) = \frac{d^p}{p+1} \left( B_{p+1}\left(\frac{a}{d} + n + 1\right) - B_{p+1}\left(\frac{a}{d}\right) \right) $，确认与已知结果的一致性。