[论文解读] Shadows of characteristic cycles, Verma modules, and positivity of Chern-Schwartz-MacPherson classes of Schubert cells

Paolo Aluffi, Leonardo C. Mihalcea+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 37

一句话总结

本文通过等变上同调中的“阴影”概念，建立了旗流形中Schubert单元的Chern-Schwartz-MacPherson（CSM）类与正则Verma D-模的特征循环之间的深刻联系。证明了同调化等变CSM类等于通过余切丛零截面的特征循环的拉回，从而得出CSM类的正性结果——证实了Aluffi与Mihalcea的猜想——并将该结果推广至Kazhdan-Lusztig类与Mather类，同时在旗流形设定下将CSM类与稳定包络相联系。

ABSTRACT

Chern-Schwartz-MacPherson (CSM) classes generalize to singular and/or noncompact varieties the classical total homology Chern class of the tangent bundle of a smooth compact complex manifold. The theory of CSM classes has been extended to the equivariant setting by Ohmoto. We prove that for an arbitrary complex projective manifold $X$, the homogenized, torus equivariant CSM class of a constructible function $φ$ is the restriction of the characteristic cycle of $φ$ via the zero section of the cotangent bundle of $X$. This extends to the equivariant setting results of Ginzburg and Sabbah. We specialize $X$ to be a (generalized) flag manifold $G/B$. In this case CSM classes are determined by a Demazure-Lusztig (DL) operator. We prove a `Hecke orthogonality' of CSM classes, determined by the DL operator and its Poincar{é} adjoint. We further use the theory of holonomic $\mathcal{D}_X$-modules to show that the characteristic cycle of a Verma module, restricted to the zero section, gives the CSM class of the corresponding Schubert cell. Since the Verma characteristic cycles naturally identify with the Maulik and Okounkov's stable envelopes, we establish an equivalence between CSM classes and stable envelopes; this reproves results of Rim{á}nyi and Varchenko. As an application, we obtain a Segre type formula for CSM classes. In the non-equivariant case this formula is manifestly positive, showing that the expansion in the Schubert basis of the CSM class of a Schubert cell is effective. This proves a previous conjecture by Aluffi and Mihalcea, and it extends previous positivity results by J. Huh in the Grassmann manifold case. Finally, we generalize all of this to partial flag manifolds $G/P$.

研究动机与目标

• 通过特征循环，建立旗流形中Schubert单元等变Chern-Schwartz-MacPherson（CSM）类的几何实现。
• 证明CSM类的正性，证实Aluffi与Mihalcea的猜想。
• 通过特征循环的阴影，将MacPherson变换的拉格朗日模型推广至等变设定。
• 在旗流形与部分旗流形的背景下，统一CSM类与稳定包络。
• 将关于Segre-MacPherson类与CSM类的结果推广至任意旗流形，并通过Demazure-Lusztig算子建立正交关系。

提出的方法

• 作者在等变上同调中定义了特征循环的'阴影'，通过余切丛零截面的拉回，将其与同调化CSM类联系起来。
• 他们利用Segre算子，将可构造函数的CSM类与相应D-模的特征循环联系起来。
• 一个关键技术工具是沿对角嵌入的非特征拉回，使得特征循环的交点理论计算成为可能。
• 该理论被专门应用于旗流形 $G/B$，其中CSM类通过Demazure-Lusztig算子及其伴随算子计算得出。
• 作者证明了CSM类与Segre-MacPherson类之间的'Hecke正交性'与'几何正交性'，从而导出一个将CSM类表示为特征循环Segre类的公式。
• 通过局部化与特征循环技术，建立了CSM类与稳定包络之间的等价性，重新证明了Rimányi与Varchenko的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 旗流形中Schubert单元的等变CSM类与相关D-模的特征循环之间有何关系？
• RQ2 同调化CSM类在余切丛上的拉回中，其精确几何意义是什么？
• RQ3 能否通过特征循环理论与Verma模证明Schubert单元CSM类的正性？
• RQ4 在旗流形与部分旗流形的背景下，CSM类与稳定包络之间有何关系？
• RQ5 Demazure-Lusztig算子及其伴随算子在CSM类与Segre-MacPherson类的正交性与对偶性中起什么作用？

主要发现

• 可构造函数的同调化等变CSM类等于其特征循环沿余切丛零截面的拉回。
• Schubert单元的CSM类可表示为正则Verma $\mathcal{D}_X$-模特征循环的Segre类。
• 本文证明了旗流形中Schubert单元CSM类的正性，证实了Aluffi与Mihalcea的猜想。
• 证明了Schubert簇的Kazhdan-Lusztig类是有效的，将正性结果推广至这些不变量。
• 建立了CSM类与Segre-MacPherson类之间的几何正交关系，从而导出Schubert类与CSM类之间的过渡矩阵公式。
• 在旗流形设定下，通过特征循环方法，建立了CSM类与稳定包络之间的等价性，重新证明了Rimányi与Varchenko的结果。