[论文解读] Shafarevich's Conjecture for CY Manifolds I

Kefeng Liu, Andrey Todorov+2 more|ArXiv.org|Aug 22, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文建立了卡拉比-丘（CY）流形的Teichmüller空间的存在性，并构造了极化CY流形粗模空间的一个有限覆盖，该覆盖为非奇异的拟射影代数簇，从而实现了一族极化CY流形。本文将Shafarevich集合的有限性与Yukawa耦合的非零性联系起来，并利用Borcea–Voisin CY流形构造了Shafarevich猜想类比的反例。

ABSTRACT

In this paper we first study the moduli spaces related to Calabi-Yau manifolds. We then apply the results to the following problem. Let $C$ be a fixed Riemann surface with fixed finite number of points on it. Given a CY manifold with fixed topological type, we consider the set of all families of CY manifolds of the fixed topological type over $C$ with degenerate fibres over the fixed points up to isomorphism. This set is called Shafarevich set. The analogue of Shafarevich conjecture for CY manifolds is for which topological types of CY the Shafarevich set is finite. It is well-known that the analogue of Shafarevich conjecture is closely related to the study of the moduli space of polarized CY manifolds and the moduli space of the maps of fixed Riemann surface to the coarse moduli space of the CY manifolds. We prove the existence of the Teichmüller space of CY manifolds together with a universal family of marked CY manifolds. From this result we derive the existence of a finite cover of the coarse moduli space which is a non-singular quasi-projective manifold. Over this cover we construct a family of polarized CY manifolds. We study the moduli space of maps of the fixed Riemann with fixed points on it to the moduli space of CY manifolds constructed in the paper such that the maps map the fixed points on the Riemann surface to the discriminant locus. If this moduli space of maps is finite then Shafarevich conjecture holds. We relate the analogue of Shafarevich problem to the non-vanishing of the Yukawa coupling. We give also a counter example of the Shafarevich problem for a class of CY manifolds.

研究动机与目标

• 建立卡拉比-丘流形的Teichmüller空间的存在性，以及带标记的极化CY流形的普遍族。
• 构造极化CY流形粗模空间的一个有限覆盖，使其为非奇异的拟射影代数簇。
• 将Shafarevich集合的有限性（定义为在固定黎曼曲面上具有固定点处退化的CY流形族的同构类）与Yukawa耦合的非零性联系起来。
• 通过显式反例研究某些类CY流形的Shafarevich猜想类比的失效。

提出的方法

• 将带标记的极化CY流形的Teichmüller空间构造为可积复结构模微分同胚（同伦于恒等映射）的商空间。
• 利用Hilbert概形构造CY流形族，并分析在中等上同调上平凡的自同构群G的作用。
• 证明粗模空间的有限覆盖存在，且为非奇异的拟射影代数簇，并在其上构造了一族极化CY流形。
• 应用Higgs丛理论与Hodge结构的变体理论，研究CY流形族中的刚性与单值性。
• 利用Bishop收敛定理和凯勒几何中的复指数映射，分析有界性与全纯嵌入。
• 通过Borcea–Voisin CY流形（具有无固定点对合的K3曲面与椭圆曲线的商）构造反例，表明Shafarevich集合可为无限。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡拉比-丘流形是否存在Teichmüller空间？其是否为具有带标记极化CY流形普遍族的非奇异复流形？
• RQ2 能否构造极化CY流形粗模空间的一个有限覆盖，使其为非奇异的拟射影代数簇？
• RQ3 在何种条件下，从固定黎曼曲面（带标记点）到CY流形模空间的映射模空间是有限的，从而意味着Shafarevich集合的有限性？
• RQ4 Yukawa耦合的非零性如何与固定黎曼曲面上CY流形族的刚性及有限性相关联？
• RQ5 是否存在Shafarevich猜想类比的显式反例？此类失效背后的几何结构是什么？

主要发现

• 卡拉比-丘流形的Teichmüller空间存在，且仅有有限多个不可约分支，每个分支均为非奇异复流形。
• 极化CY流形粗模空间的有限覆盖存在，且为非奇异的拟射影代数簇，其上可构造一族极化CY流形。
• Shafarevich集合的有限性等价于从固定黎曼曲面（带标记点）到CY流形模空间的映射模空间的有限性，且标记点映射到判别子集。
• Yukawa耦合的非零性是CY流形族刚性的必要条件，并与Shafarevich集合的有限性密切相关。
• 利用Borcea–Voisin CY流形构造了Shafarevich猜想类比的反例，其为具有无固定点对合的K3曲面与椭圆曲线的商。
• 所得三流形CY流形的模空间微分同构于Enriques曲面模空间与椭圆曲线模曲线的乘积，且该族非刚性，导致Shafarevich集合为无限。