[论文解读] Shape-Driven Interpolation with Discontinuous Kernels: Error Analysis, Edge Extraction and Applications in MPI

Stefano De Marchı, Wolfgang Erb+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 31被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于形状的径向基函数（RBF）插值方法，采用可变尺度不连续核（VSDKs），可自适应地响应散乱数据中已知或估计的边缘，显著减少吉布斯振 ringing 伪影。通过结合基于机器学习的分割算法获取边缘信息，并将原生空间分析为分段Sobolev空间，该方法在标准RBF插值基础上实现了更优的收敛速率，尤其在磁性粒子成像（MPI）等医学影像应用中表现突出。

ABSTRACT

Accurate interpolation and approximation techniques for functions with discontinuities are key tools in many applications as, for instance, medical imaging. In this paper, we study an RBF type method for scattered data interpolation that incorporates discontinuities via a variable scaling function. For the construction of the discontinuous basis of kernel functions, information on the edges of the interpolated function is necessary. We characterize the native space spanned by these kernel functions and study error bounds in terms of the fill distance of the node set. To extract the location of the discontinuities, we use a segmentation method based on a classification algorithm from machine learning. The conducted numerical experiments confirm the theoretically derived convergence rates in case that the discontinuities are a priori known. Further, an application to interpolation in magnetic particle imaging shows that the presented method is very promising.

研究动机与目标

• 解决在具有不连续性的函数RBF插值中出现的吉布斯现象挑战，特别是在医学影像中锐利边缘常见的场景下。
• 开发一种无网格插值框架，通过可变尺度函数将不连续性直接整合到核基函数中。
• 将所得VSDK核系统的原生空间表征为分段Sobolev空间，以支持理论误差分析。
• 在数据稀疏且边缘保真度至关重要的应用（如磁性粒子成像MPI）中实现高精度插值。
• 通过核机器方法构建稳健的边缘检测流程，当边缘位置事先未知时，估计不连续性位置。

提出的方法

• 通过使用编码边缘位置的数据相关缩放函数 $ \psi $ 修改基础核 $ K $，构建可变尺度不连续核（VSDKs）。
• 采用基于机器学习的分类算法（核机器）从散乱数据中估计不连续性位置，实现边缘感知插值。
• 将插值问题表述为由VSDK定义的原生空间中的配点问题，并以填充距离为基准推导理论收敛界。
• 采用阈值化或k均值聚类的分割策略，将数据点标记为由边缘分隔的不同区域。
• 在数值实验中使用 $ C^0 $-Matérn 核，以确保插值函数的光滑性与稳定性，同时保持边缘锐利。
• 通过在Lissajous节点上插值粒子密度，将VSDK方法集成到MPI重建中，替代标准多项式插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何修改RBF插值方法，以在重建具有不连续性的函数时避免吉布斯伪影？
• RQ2 VSDK核系统的原生空间结构是什么？其对收敛速率有何影响？
• RQ3 在缺乏先验知识的情况下，基于机器学习的分割能否可靠地从散乱数据中估计不连续性位置？
• RQ4 在填充距离的表达下，VSDK插值的理论收敛速率可保证多快？
• RQ5 与标准多项式或RBF插值相比，VSDK方法在实际应用（如磁性粒子成像MPI）中的表现如何？

主要发现

• 当基础核 $ K $ 在傅里叶域具有代数衰减时，VSDK核的原生空间可表征为分段Sobolev空间。
• 理论误差界表明，VSDK插值的收敛速度显著快于标准RBF插值，尤其当核 $ K $ 为解析函数时。
• 数值实验验证了在已知不连续性位置时预测的收敛速率，证实了理论分析的有效性。
• 在MPI重建中，VSDK方法有效抑制了标准多项式插值在Lissajous节点上产生的振铃伪影。
• 通过阈值化或k均值聚类实现的核机器边缘检测，可生成与人工标注结果质量相当的分割结果。
• VSDK方法在重建图像中保持了锐利的边缘，展现出在高保真医学图像重建中的潜力。