[论文解读] Sharp bounds for the second Seiffert mean in terms of power means

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用 13

一句话总结

本文建立了第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 与幂平均 $A_p(a,b)$ 之间的精确界限，证明了 $A_{\log_{\pi/2}2}(a,b) < T(a,b) \leq A_{5/3}(a,b)$，其中界限为最优。结果通过平均比函数的对数变换的渐近分析与单调性性质推导得出。

ABSTRACT

For a,b&gt;0 with a ot=b, let T(a,b) denote the second Seiffert mean defined by T(a,b)=((a-b)/(2arctan((a-b)/(a+b)))) and A_{r}(a,b) denote the r-order power mean. We present the sharp bounds for the second Seiffert mean in terms of power means: A_{p_1}(a,b)

研究动机与目标

• 确定第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 的最佳幂平均界限。
• 建立形如 $A_p(a,b) < T(a,b) \leq A_q(a,b)$ 的精确不等式，其中 $a,b > 0$ 且 $a \neq b$。
• 证明指数 $p_1 = \log_{\pi/2}2 \approx 1.5349$ 和 $p_2 = 5/3$ 在各自界限中为最优。
• 改进已知涉及 $T(a,b)$ 的不等式，包括与 Neuman-Sándor 平均和第一 Seiffert 平均相关的不等式。

提出的方法

• 定义函数 $F_p(x) = \ln \left( \frac{T(1,x)}{A_p(1,x)} \right)$，其中 $x \in (0,1)$，以分析第二 Seiffert 平均与幂平均的比值。
• 利用 $x \to 1^-$ 时的渐近展开，推导 $F_p(x)$ 的二阶行为，得到 $\lim_{x \to 1^-} \frac{F_p(x)}{(x-1)^2} = -\frac{1}{24}(3p - 5)$。
• 分析当 $x \to 0^+$ 时 $F_p(x) \to \frac{1}{p}\ln 2 - \ln\frac{\pi}{2}$ 的极限，以确定 $p > 0$ 时的边界行为。
• 通过导数分析 $F_p(x)$ 的单调性，以判断 $T(a,b) < A_p(a,b)$ 或 $T(a,b) > A_p(a,b)$ 成立的条件。
• 使用数学软件数值求解上界中等式成立的极值点 $x_3$，得到最优常数 $\beta_2 \approx 1.0136$。
• 通过 $F_p(x)$ 的单调性，建立 Fan-Ky 型不等式，证明当 $p \geq 5/3$ 时，有 $T(a_1,b_1)/T(a_2,b_2) < A_p(a_1,b_1)/A_p(a_2,b_2)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪个幂平均 $A_p(a,b)$ 能为第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 提供最优下界？
• RQ2 哪个幂平均 $A_p(a,b)$ 能为第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 提供最优上界？
• RQ3 能否通过更紧的幂平均界限改进已知涉及 $T(a,b)$ 的不等式，例如 $A < T < Q$？
• RQ4 在极值 $p$ 值下，双重不等式 $\alpha_1 A_p(a,b) < T(a,b) < \alpha_2 A_p(a,b)$ 中的最优常数是什么？
• RQ5 关于 $T(a,b)$ 的界限如何与 Neuman-Sándor 平均和第一 Seiffert 平均等其他已知平均相关？

主要发现

• 第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 的精确下界为 $A_{\log_{\pi/2}2}(a,b)$，最优常数 $\beta_1 = 1$，最优上界常数 $\beta_2 \approx 1.0136$。
• 第二 Seiffert 平均 $T(a,b)$ 的精确上界为 $A_{5/3}(a,b)$，最优常数 $\alpha_1 = 2^{8/5}/\pi \approx 0.9649$ 和 $\alpha_2 = 1$。
• 指数 $p_1 = \log_{\pi/2}2 \approx 1.5349$ 对于下界为最优，$p_2 = 5/3$ 对于上界为最优。
• 不等式 $T(a,b) < A_p(a,b)$ 当且仅当 $p \geq 5/3$ 成立，而反向不等式当且仅当 $p \leq \log_{\pi/2}2$ 成立。
• 建立了不等式链 $A_0 < L < A_{1/3} < P < A_{2/3} < I < A_{3/3} < N < A_{4/3} < T < A_{5/3}$，改进了先前结果。
• 函数 $p \mapsto \frac{(a^2 + b^2)(a^{p-1} + b^{p-1})}{2(a^p + b^p)}$ 严格递减，支持了界限的最优性。