[论文解读] Shift-invariant Spaces with Countably Many Mutually Orthogonal Generators on the Heisenberg group

R. Radha, Saswata Adhikari|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文利用群傅里叶变换，刻画了在海森伯群上具有可数个相互正交生成元的平移不变空间。它建立了此类系统构成或thonormal基、Bessel序列、Parseval框架和Riesz基的充要条件，关键结果将这些性质与生成元在群傅里叶变换下的行为以及新引入的“条件C”联系起来。

ABSTRACT

Let $E(\mathscr{A})$ denote the shift-invariant space associated with a countable family $\mathscr{A}$ of functions in $L^{2}(\mathbb{H}^{n})$ with mutually orthogonal generators, where $\mathbb{H}^{n}$ denotes the Heisenberg group. The characterizations for the collection $E(\mathscr{A})$ to be orthonormal, Bessel sequence, Parseval frame and so on are obtained in terms of the group Fourier transform of the Heisenberg group. These results are derived using such type of results which were proved for twisted shift-invariant spaces and characterized in terms of Weyl transform. In the last section of the paper, some results on oblique dual of the left translates of a single function $φ$ is discussed in the context of principal shift-invariant space $V(φ)$.

研究动机与目标

• 刻画由海森伯群上可数个相互正交生成元构成的平移不变空间。
• 确定此类系统构成或thonormal基、Bessel序列、Parseval框架或Riesz基的条件。
• 研究主平移不变空间中斜对偶框架的问题。
• 建立框架性质与生成元群傅里叶变换之间的联系。
• 提供$V(\varphi)$中单个函数左平移的斜对偶的刻画，特别是在紧支集和条件C下。

提出的方法

• 利用海森伯群上的群傅里叶变换，将$L^2(\mathbb{H}^n)$中的函数映射为具有迹类算子取值的函数。
• 引入映射$\mathscr{T}$，从$L^2(\mathbb{H}^n)$到$L^2((0,1], \ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2))$，其为等距同构。
• 应用Weyl变换及其核，分析扭曲平移不变空间，利用作者先前工作的已有结果。
• 对每个生成元$\varphi_j$施加“条件C”，以确保其与群傅里叶变换结构相容。
• 利用范围函数$\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)$，通过$\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$-取值序列刻画框架、Riesz基和正交系的性质。
• 通过分析算子空间$\mathcal{B}_2$中$\widehat{\varphi}(\lambda)$与$\widehat{\tilde{\varphi}}(\lambda)$的内积，推导出斜对偶的必要与充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，可数族$\mathscr{A} = \{\varphi_j\}_{j\in\mathbb{N}}$的左平移集合$E(\mathscr{A})$构成$L^2(\mathbb{H}^n)$中的正交系？
• RQ2 在什么条件下$E(\mathscr{A})$是Bessel序列、Parseval框架或Riesz基，且这些条件如何通过群傅里叶变换刻画？
• RQ3 Bessel序列$\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$成为$\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$在$V(\varphi)$中的斜对偶的必要与充分条件是什么？
• RQ4 如果$\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$是$V(\varphi)$中的框架，是否总能在$V(\varphi)$中构造出其斜对偶框架？
• RQ5 紧支集和“条件C”如何简化斜对偶的刻画？

主要发现

• 若每个$\varphi_j$满足条件C，则系统$E(\mathscr{A})$是$L^2(\mathbb{H}^n)$中的正交系，当且仅当$\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$在$\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$中对 a.e. $\lambda \in (0,1]$ 构成正交系。
• 系统$E(\mathscr{A})$是Bessel序列，当且仅当$\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$在$\ell^2(\mathbb{Z}, \mathcal{B}_2)$中对 a.e. $\lambda \in (0,1]$ 构成Bessel序列。
• 系统$E(\mathscr{A})$是$V(\mathscr{A})$的Parseval框架，当且仅当$\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$在$J(\lambda)$中对 a.e. $\lambda \in \bigcap_{j\in\mathbb{N}} \Omega_{\varphi_j}$ 构成Parseval框架。
• 系统$E(\mathscr{A})$是$V(\mathscr{A})$的Riesz基，其界为$A,B$，当且仅当$\{\mathscr{T}\varphi_j(\lambda)\}_{j\in\mathbb{N}}$在$J(\lambda)$中对 a.e. $\lambda \in (0,1]$ 构成界为$A,B$的Riesz基。
• 若$\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$是$V(\varphi)$的框架，则存在$\tilde{\varphi} \in V(\varphi)$，使得$\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$是$\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$的斜对偶框架，其中$\tilde{\varphi} = S^{-1}\varphi$，$S$为框架算子。
• 对于满足条件C的紧支集生成元，斜对偶条件得以简化：$\{L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi}\}$是$\{L_{(2k,l,m)}\varphi\}$的斜对偶，当且仅当$\langle \varphi, L_{(2k,l,m)}\tilde{\varphi} \rangle = \delta_{k,l,m,0}$。