[论文解读] Short Cycles Connectivity

Vladimir Batagelj, Matjaž Zaveršnik|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2003

Interconnection Networks and Systems参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出了短环连通性——一种图连通性的广义形式，其中顶点不再通过路径连接，而是通过重叠的环（三角形或长度≤k的环）序列连接。证明了该关系在顶点上构成等价关系，并提出了时间复杂度为O(Δm)的高效算法来计算连通分量。主要贡献在于提出了一套基于环的连通性统一分析框架，可扩展至有向图和团（cliques）。

ABSTRACT

Short cycles connectivity is a generalization of ordinary connectivity. Instead by a path (sequence of edges), two vertices have to be connected by a sequence of short cycles, in which two adjacent cycles have at least one common vertex. If all adjacent cycles in the sequence share at least one edge, we talk about edge short cycles connectivity. It is shown that the short cycles connectivity is an equivalence relation on the set of vertices, while the edge short cycles connectivity components determine an equivalence relation on the set of edges. Efficient algorithms for determining equivalence classes are presented. Short cycles connectivity can be extended to directed graphs (cyclic and transitive connectivity). For further generalization we can also consider connectivity by small cliques or other families of graphs.

研究动机与目标

• 通过用重叠的短环序列替代路径，对传统图连通性进行推广。
• 基于长度至多为k的环，定义并形式化顶点连通性和边连通性，扩展至三角形之外。
• 证明短环连通性在顶点上构成等价关系，并在边上定义边连通性。
• 设计时间复杂度为O(Δm)的高效算法，用于计算无向图和有向图中的连通分量。
• 将该框架推广至通过小团或其它图族实现的连通性，以支持更广泛的网络结构分析。

提出的方法

• 将（顶点）三角链定义为一系列三角形，其中相邻三角形至少共享一个顶点。
• 引入关系$\mathbf{K}_k$，表示通过长度至多为$k$的环实现的连通性，要求相邻环至少共享一个顶点。
• 定义边短环连通性$\mathbf{L}_k$，要求相邻环至少共享一条边。
• 构建一个过滤子图$\mathcal{G}_F$，仅保留在至少一个$k$-环中的弧，以缩小搜索空间。
• 证明在$\mathcal{G}_F$中的强连通性恰好对应于原图$\mathcal{G}$中的$k$-边形连通性。
• 将框架推广至$(k,r)$-团连通性，使用大小从$K_{r+1}$到$K_k$的团族，要求满足在$K_r$上的交集条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过重叠的短环序列而非路径，对图的连通性进行有意义的重新定义？
• RQ2 短环连通性是否在顶点上构成等价关系，且能否高效计算？
• RQ3 边短环连通性与顶点连通性有何不同，它在边上定义了何种结构？
• RQ4 该框架能否扩展至有向图，其与强连通性的关系如何？
• RQ5 该概念能否超越环，推广至包括团等其他图族？

主要发现

• 通过长度至多为$k$的环实现的短环连通性，在顶点集合上构成等价关系，确保连通分量定义良好。
• 关系$\mathbf{K}_k$（通过$k$-环实现的顶点连通性）等价于在过滤子图$\mathcal{G}_F$中的强连通性，其中仅保留属于至少一个$k$-环的弧。
• 存在一个时间复杂度为$O(\Delta m)$的高效算法，通过邻接顶点交集操作计算$\mathbf{K}_k$分量。
• 边短环连通性$\mathbf{L}_k$在边上构成等价关系，其分量由相邻环共享的边决定。
• 该框架可推广至$(k,r)$-团连通性，其中连通性通过大小从$r+1$到$k$的重叠团实现，且这些团在公共的$r$-团上相交。
• 有向图的扩展包括循环和传递的$k$-边形连通性，满足$\mathbf{C}_k(\mathcal{G}) = \mathbf{S}(\mathcal{G}_F) $，将$k$-边形连通性与过滤图中的强连通性联系起来。