[论文解读] Short time regularity of Navier-Stokes flows with locally $L^3$ initial data and applications

Kyungkeun Kang, Hideyuki Miura+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文在初始数据局部属于 $L^3$ 的条件下，建立了三维纳维-斯托克斯方程合适弱解的短时正则性，前提是局部能量和压力范数有界。证明了此类解在更小的抛物柱体内成为正则解，并具有统一的 $L^\infty$ 有界性，将正则性结果推广至光滑性较低的初始数据，并解决了离散自相似解与局部 $L^3$ 范数较小解的关键问题。

ABSTRACT

We prove short time regularity of suitable weak solutions of 3D incompressible Navier-Stokes equations near a point where the initial data is locally in $L^3$. The result is applied to the regularity problems of solutions with uniformly small local $L^3$ norms, and of forward discretely self-similar solutions.

研究动机与目标

• 建立三维纳维-斯托克斯方程在初始数据局部属于 $L^3$ 条件下合适弱解的短时正则性。
• 解决局部 $L^3$ 范数一致较小的解的正则性问题。
• 分析基于 $L^3$ 初始数据的前向离散自相似解的正则性。
• 将已知的正则性结果推广至霍尔德连续或小数据假设之外的情形。

提出的方法

• 利用局部能量估计与局部压力估计，控制解在初始时刻附近的行为。
• 通过瑞利变换与截断函数，将压力分解为局部与远场两部分。
• 采用光滑化与弱收敛论证，实现压力与速度场极限的取极限过程。
• 通过尺度不变估计，在抛物柱体内建立速度与压力的统一有界性。
• 通过差值的趋于零论证，证明极限的唯一性。
• 依赖于局部能量不等式以及压力在 $L^2_t L^{3/2}_x$ 中有界性，以控制非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始数据局部属于 $L^3$ 的某一点附近，三维纳维-斯托克斯方程的合适弱解是否具有正则性？
• RQ2 局部 $L^3$ 范数以及能量/压力范数需满足何种条件，才能保证短时正则性？
• RQ3 对于基于 $L^3$ 初始数据的离散自相似解，即使初始数据不光滑，是否仍可建立正则性？
• RQ4 若缺乏全局 $L^3$ 可积性但具有局部 $L^3$ 控制，是否在小规模假设下仍可保证正则性？
• RQ5 正则性结果能否推广至局部 $L^3$ 范数较小的解，而无需全局小规模假设？

主要发现

• 存在绝对常数 $\epsilon_0$ 与 $C_1$，使得若 $B_1$ 上的初始 $L^3$ 范数有界于 $\epsilon_0$，且解的能量与压力有界于 $M$，则解在 $B_{1/4} \times (0,T_1)$ 内正则。
• 解在 $B_{1/4} \times (0,T_1)$ 内满足统一有界性 $|v(x,t)| \leq C_1 / \sqrt{t}$，且该界与 $M$ 无关。
• 正则性时间 $T_1$ 依赖于 $M$，形式为 $T_1(M) = \epsilon (1+M)^{-6}$，其中 $\epsilon > 0$ 为一小的绝对常数，确保在 $M$ 较小时正则性成立。
• 压力在 $B_1 \times (0,T_1)$ 上属于 $L^2_t L^{3/2}_x$，这对能量估计与压力分解至关重要。
• 解满足局部 $L^3$ 有界性：$\sup_{z_0} \sup_{r>0} \frac{1}{r^2} \int_{Q_{z_0,r} \cap [B_1 \times (0,T_1)]} |v|^3 \, dz \leq 1$，表明浓度受控。
• 压力分解公式在局部成立，压力被分解为局部与远场两部分，二者均在适当的 $L^s_t L^q_x$ 范数下有界，从而支持逼近方案中的极限过程。