[论文解读] Shortest sequences containing primitive words and powers

Yu Hin Au|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2009

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文使用贪心算法或按字典序连接Lyndon词的方法，构造了在任意有限字母表上包含所有长度为$n$的原词的最短词。同时，本文建立了包含所有长度为$pn$的$p$-幂的词的长度界限，证明其介于$pk^n$与约$(p + \frac{1}{k})k^n$之间，并提供了达到上界的算法。

ABSTRACT

We show that for every $n \geq 1$ and over any finite alphabet, there is a word whose circular factors of length $n$ have a one-to-one correspondence with the set of primitive words. In particular, we prove that such a word can be obtained by a greedy algorithm, or by concatenating all Lyndon words of length $n$ in increasing lexicographic order. We also look into connections between de Bruijn graphs of primitive words and Lyndon graphs. Finally, we also show that the shortest word that contains every $p$-power of length $pn$ over a $k$-letter alphabet has length between $pk^n$ and roughly $(p+ \frac{1}{k}) k^n$, for all integers $p \geq 1$. An algorithm that generates a word which achieves the upper bound is provided.

研究动机与目标

• 构造一个最短词，使其长度为$n$的循环因子恰好为任意有限字母表上所有长度为$n$的原词。
• 为在$k$-字母表上包含所有长度为$pn$的$p$-幂的词，建立其长度的紧致界限。
• 探索原词的de Bruijn图与Lyndon图之间的结构联系。
• 提供一种高效算法，生成达到$p$-幂包含的上界的词。

提出的方法

• 使用贪心算法构造包含所有原词作为长度为$n$的循环因子的词。
• 证明该构造等价于按字典序连接所有长度为$n$的Lyndon词。
• 分析限制在原词上的de Bruijn图结构，并将其与Lyndon图关联。
• 利用组合数学与串算法技术，推导出包含所有长度为$pn$的$p$-幂的最短词长度的理论界限。
• 设计一种算法，生成达到$(p + \frac{1}{k})k^n$量级上界的词，以实现$p$-幂的包含。
• 理论分析利用了Lyndon词的性质及其在串因子分解与de Bruijn图结构中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意有限字母表上，包含所有长度为$n$的原词作为循环因子的最短词是什么？
• RQ2 在$k$-字母表上，包含所有长度为$pn$的$p$-幂的词，其最短长度可以达到多少？
• RQ3 原词的de Bruijn图与Lyndon图之间存在何种结构关系？
• RQ4 贪心算法或Lyndon词连接能否生成原词覆盖的最短词？
• RQ5 是否存在一种高效算法，可生成达到$p$-幂包含上界的词？

主要发现

• 对每个$n \geq 1$及任意有限字母表，均存在一个词，其长度为$n$的循环因子恰好为所有长度为$n$的原词。
• 该词可通过贪心算法或按字典序连接所有长度为$n$的Lyndon词构造而成。
• 在$k$-字母表上，包含所有长度为$pn$的$p$-幂的最短词的长度介于$pk^n$与约$(p + \frac{1}{k})k^n$之间。
• 通过提供的算法，$(p + \frac{1}{k})k^n$的上界可被实现，用于$p$-幂的包含。
• 本文建立了原词的de Bruijn图与Lyndon图之间的结构联系，暗示了更深层次的组合联系。
• 通过Lyndon词连接构造的方法，确保了原词覆盖下循环因子数量的最小性。