[论文解读] Shot-noise processes with logarithmic response function and their scaling limits

Luisa Beghin, Lorenzo Cristofaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

stochastic dynamics and bifurcation被引用 0

一句话总结

该论文引入具有对数时间比的脉冲响应的射噪声过程，分析有限时间性质，并证明与 Hadamard 分式布朗运动（H-fBm）的尺度极限相一致。

ABSTRACT

We consider shot-noise processes with an impulse response written in terms of the logarithm of the ratio between current and event time (instead of the usual absolute time difference). We study its finite-time properties as well as its weak convergence, under appropriate scaling and with general assumptions on the dependence of noises on event times. The limiting process coincides with the so-called Hadamard fractional Brownian motion (introduced in Beghin, Cristofaro, Polito (2026)), which represents a middle ground between standard Brownian motion and fractional Brownian motion. It shares the one-dimensional distribution with the former, while possessing the long-memory property (within a certain parameter range) of the latter, though with smaller intensity.

研究动机与目标

• 为具备持续、对数冲击响应的系统建模提供动机，以及潜在的长程依赖性。
• 定义一个射噪声框架，其中冲击响应取决于时间比 t/T_j 而非 |t-T_j|。
• 在对噪声与事件时刻的适当假设下，建立有限时间性质与尺度极限。
• 证明尺度极限与 Hadamard 分式布朗运动一致，并分析其记忆性。

提出的方法

• 将 S(t) 定义为冲击响应 g(t/T_j) 与随机冲击 R_j(T_j) 的射噪声输出。
• 设 g(t)=log^β(t)1_{[1,∞)}(t)，β ∈ (0,1/2)，得到 S_β(t)。
• 利用泊松随机测度表示计算 S_β 的协方差，并在各种噪声假设下推导显式形式。
• 通过特征函数与 Lévy 流形的尺度变换，证明经缩放的 S_α,c 在 c→∞ 时在有限维分布上收敛到 Hadamard-fBm B^H_α。
• 在 Skorokhod J1 拥有的 D[0,T] 拟合性紧性条件下建立弱收敛（使用 [11] 的引理 3.1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数（基于比值）的冲击响应是否能在射噪声模型中产生非平稳、尺度不变的自相关？
• RQ2 在何种条件下，对数射噪声极限与 Hadamard 分式布朗运动相吻合？
• RQ3 R_j(T_j) 的不同条件方差结构如何影响有限时间协方差以及极限记忆行为？
• RQ4 对数射噪声核与幂律射噪声核在二次变差上有何差异？

主要发现

• 当噪声相互独立且方差常数时，Cov(S_β(t),S_β(s)) 可以通过一个含 Tricomi 函数的闭式表示，并且在 t/s 时表现为慢变、尺度不变的函数。
• 在独立噪声的情形下，过程 S_β 具有零二次变差，与标准幂律射噪声不同，后者的二次变差发散。
• 在对 K2 和 K4（方差结构）假设适当时，缩放后的过程 Ŝ_{α,c}(t)=S(ct)/√(cK_{α,λ}) 在有限维分布上收敛到 Hadamard 分式布朗运动 B^H_α。
• 在 Skorokhod 空间 (D[0,T], J1) 下的弱收敛对 Ŝ_{α,c} 到 B^H_α 成立，需满足一组正则性条件（定理 3.2）。
• Hadamard fBm B^H_α 具备与布朗运动相同的一维分布，但在 α ∈ (1,2) 时可能表现为长程依赖，在 α ∈ (0,1) 时为短程依赖。