[论文解读] Shuffling cards for blackjack, bridge, and other card games

Mark Conger, Divakar Viswanath|ArXiv.org|Jun 1, 2006

Artificial Intelligence in Games参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文研究了在黑杰克和桥牌等游戏中，为使牌组充分洗牌所需的手牌洗牌次数，这些游戏对牌的唯一性和排列均匀性要求低于使用完全不同的牌的游戏。研究证明，计算描述多项式（决定牌组间转移概率的关键）是#P-完全问题，尽管系数近似正态分布（钟形曲线），但该近似在关键的尾部概率上仍不充分，无法精确确定混合时间，因此采用启发式方法和实验估算混合阈值。

ABSTRACT

This paper is about the following question: How many riffle shuffles mix a deck of card for games such as blackjack and bridge? An object that comes up in answering this question is the descent polynomial associated with pairs of decks, where the decks are allowed to have repeated cards. We prove that the problem of computing the descent polynomial given a pair of decks is $#P$-complete. We also prove that the coefficients of these polynomials can be approximated using the bell curve. However, as must be expected in view of the $#P$-completeness result, approximations using the bell curve are not good enough to answer our question. Some of our answers to the main question are supported by theorems, and others are based on experiments supported by heuristic arguments. In the introduction, we carefully discuss the validity of our answers.

研究动机与目标

• 确定在黑杰克和桥牌等游戏中，为使牌组充分混合所需的手牌洗牌次数，其中并非所有52!种排列都需等可能。
• 分析在手牌洗牌下，具有重复牌的牌组之间转移概率的计算复杂度。
• 评估在混合时间背景下，对描述多项式系数使用正态近似（钟形曲线）的准确性。
• 结合理论结果与启发式数值方法，提供特定游戏中混合时间的估算值。

提出的方法

• 使用描述多项式编码在手牌洗牌下两个牌组之间的转移概率，其中系数表示导致特定排列的手牌洗牌序列数量。
• 本文证明，计算两个牌组的描述多项式是#P-完全问题，表明目前不存在多项式时间算法。
• 在一般条件下推导出描述多项式系数的正态近似（钟形曲线），并证明其渐近正态性。
• 对于关键的尾部系数（对混合时间估计至关重要），表明正态近似不够准确，需采用替代方法。
• 应用多项式拟合（4至6次）进行数值外推，从已计算项估算尾部系数，并通过蒙特卡洛模拟评估误差界限。
• 实验使用大规模模拟（l = 10^10）验证系数近似的准确性，并支持总变差距离的启发式估算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黑杰克等游戏中，由于花色和牌序不那么重要，需要多少次手牌洗牌才能使牌组充分混合？
• RQ2 与具有唯一牌的牌组相比，计算具有重复牌的牌组之间转移概率的计算复杂度有何不同？
• RQ3 在混合时间相关的尾部中，能否准确使用正态分布近似描述多项式的系数？
• RQ4 混合时间如何依赖于洗牌模型，特别是当洗牌非无记忆时（例如在马尔可夫手牌模型中p > 1/2或p < 1/2）？
• RQ5 在结构化牌组（如(1,2)^n或具有模约束的牌组）中，控制特定排列的洗牌次数的组合结构是什么？

主要发现

• 计算两个牌组的描述多项式的问题被证明是#P-完全问题，表明其精确计算具有固有的计算困难性。
• 尽管描述多项式的系数渐近服从正态分布，但该近似在尾部区域的准确性不足以精确确定混合时间。
• 对于桥牌，使用从x^15到x^26的项进行六次多项式拟合，估算出描述多项式中x^7的系数，估计相对误差低于10%。
• 对于黑杰克，使用四次多项式拟合从x^15到x^22的项，外推估算出x^12、x^13和x^14的系数，对相对误差低于10%具有信心。
• 由于依赖于尾部区域的外推，桥牌案例的总变差距离估算置信度较低。
• 本文提出三个开放问题：推广具有记忆的洗牌（p依赖模型）、计数(1,2)^n序列中R相关等价类的数量，以及推导具有模约束和固定下降数的排列的递推关系。