[论文解读] Signal Reconstruction from Quantized Noisy Samples of the Discrete Fourier Transform

Mohak Goyal, Animesh Kumar|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2022

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 43被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于压缩映射的新型算法，用于从其二维离散傅里叶变换（DFT）的一比特或两比特噪声采样中重建信号，利用实部和虚部的符号信息。该方法实现了渐近最优的均方误差（MSE）缩放，为 O(1/K)，其中 K 为采样率，且在基准图像上的 PSNR、SSIM、ESSIM 和 MS-SSIM 指标上均优于当前最先进方法。

ABSTRACT

In this paper, we present two variations of an algorithm for signal reconstruction from one-bit or two-bit noisy observations of the discrete Fourier transform (DFT). The one-bit observations of the DFT correspond to the sign of its real part, whereas, the two-bit observations of the DFT correspond to the signs of both the real and imaginary parts of the DFT. We focus on images for analysis and simulations, thus using the sign of the 2D-DFT. This choice of the class of signals is inspired by previous works on this problem. For our algorithm, we show that the expected mean squared error (MSE) in signal reconstruction is asymptotically proportional to the inverse of the sampling rate. The samples are affected by additive zero-mean noise of known distribution. We solve this signal estimation problem by designing an algorithm that uses contraction mapping, based on the Banach fixed point theorem. Numerical tests with four benchmark images are provided to show the effectiveness of our algorithm. Various metrics for image reconstruction quality assessment such as PSNR, SSIM, ESSIM, and MS-SSIM are employed. On all four benchmark images, our algorithm outperforms the state-of-the-art in all of these metrics by a significant margin.

研究动机与目标

• 解决仅能获取 DFT 符号信息的一比特或两比特量化、噪声 DFT 样本的信号重建问题。
• 为在加性零均值噪声下从高度退化的 DFT 观测中重建图像，开发一种稳定且收敛的算法。
• 实现相对于采样率的渐近最优重建误差缩放，优于现有方法。
• 通过 PSNR、SSIM、ESSIM 和 MS-SSIM 等标准指标，展示在图像重建质量上的优越性能。

提出的方法

• 该算法基于巴拿赫不动点定理，采用压缩映射，通过迭代方式从量化 DFT 观测中精炼信号估计。
• 其交替执行空间域中的支持约束和基于量化测量模型的符号结构 DFT 域投影。
• 该方法将量化 DFT 建模为实部和虚部的符号观测，假设噪声为加性、零均值且分布已知。
• 关键组成部分是使用线性算子 Q，将估计的逆 DFT 投影回空间域中的已知支持区域。
• 该算法设计为在压缩条件成立时收敛，要求步长 γ 属于 (0, 2/fmax)，其中 fmax 为非线性函数 f(x) 的最大值。
• 理论分析证明，期望 MSE 渐近缩放为 O(1/K)，其中 K 为过采样因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为从一比特或两比特噪声 DFT 样本中重建信号，设计一种稳定且收敛的算法？
• RQ2 所提方法是否实现了相对于采样率的渐近最优 MSE 缩放？
• RQ3 在极端量化条件下，该算法在图像重建质量方面与最先进方法相比表现如何？
• RQ4 在噪声存在的一比特或两比特 DFT 观测下，信号重建的理论误差界是什么？

主要发现

• 所提算法实现的期望均方误差（MSE）渐近缩放为 O(1/K)，证实了随着采样率增加，误差衰减达到最优。
• 在所有四张基准图像上，该算法在 PSNR、SSIM、ESSIM 和 MS-SSIM 指标上均显著优于最先进方法。
• 该算法在压缩映射条件下保证收敛，步长 γ 受限于 (0, 2/fmax)。
• 理论分析证实，量化 DFT 输出的平均方差为 O(M²/N²)，其中 M 为图像支持大小，N 为 DFT 大小。
• 该算法对具有已知分布的加性零均值噪声表现出鲁棒性，保持了稳定的重建性能。