[论文解读] Simple formula for leading $SU(3)$ irreducible representation for nucleons in an oscillator shell

V. K. B. Kota|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

Advanced NMR Techniques and Applications被引用 6

一句话总结

本文提出一个简单的解析公式，用于确定单振子壳层中核子的主导 SU(3) 不可约表示 (λ_H, μ_H)，基于 U(N) ⊃ SU(3) 的约化，其中 N = (η+1)(η+2)/2。该公式基于单粒子轨道的占据数，可在无需完整群论分解的情况下，快速识别主导的哑铃形 SU(3) 表示，适用于 η = 2 至 6 的显式表格，并应用于代理 SU(3) 方案中的质子-中子系统。

ABSTRACT

Applications of rotational $SU(3)$ symmetry in nuclei, using Elliott's $SU(3)$ or pseudo-$SU(3)$ or proxy-$SU(3)$ model, often need just the lowest or leading $SU(3)$ irreducible representation (irrep) $(\\lambda_H, \\mu_H)$. For nucleons in an oscillator shell $\\eta$, with ${\\cal N}=(\\eta +1)(\\eta +2)/2$, we have the algebra $U(r{\\cal N}) \\supset [U({\\cal N}) \\supset SU(3)] \\otimes SU(r)$; $r=2$ when there are only valence protons or neutrons and $r=4$ for nucleons with isospin $T$. Presented in this paper is a simple general formula for the leading $SU(3)$ irrep $(\\lambda_H, \\mu_H)$ in any given irrep $\\{f\\}$ of $U({\\cal N})$. Results are provided for $(\\lambda_H, \\mu_H)$ irreps for $\\eta$ values of interest in nuclei and for this for all allowed particle numbers. These results clearly show that prolate shape dominates over oblate shape in the shell model $SU(3)$ description.

研究动机与目标

• 推导出核子在单振子壳层中，U(N) 不可约表示约化为 SU(3) 时，主导 SU(3) 不可约表示 (λ_H, μ_H) 的闭式解析公式。
• 为核壳模型和代理 SU(3) 应用中确定主导 SU(3) 不可约表示，提供一种计算效率更高的替代现有计算机代码的方法。
• 通过分析不同核子构型的 (λ_H, μ_H)，证明在 SU(3) 壳模型描述中，哑铃形相对于橄榄形的主导性。
• 将该公式的适用性扩展至价质子和中子位于不同振子壳层的系统，特别是在重核的代理 SU(3) 方案中。

提出的方法

• 基于振子壳层 η 中单粒子轨道的占据数 f_i，推导出 (λ_H, μ_H) 的通用公式，轨道按 (n_z, n_x, n_y) = (η−r, r−x, x) 顺序排列，其中 r = 0 到 η，x = 0 到 r。
• 将 λ_H 和 μ_H 表示为占据数 f_i 的加权和，分别以系数 (η−2r+x) 和 (r−2x) 对所有轨道求和。
• 将该公式应用于对应于 m 个全同核子（自旋 1/2 的费米子）的 U(N) 不可约表示 {f}，区分粒子数为偶数（S=0）和奇数（S=1/2）的情况。
• 通过直接计算并与文献结果及基于代码的约化结果（如 JPD4、Bona-2）进行比较，验证了公式的正确性。
• 通过结合不同壳层中质子和中子的主导 SU(3) 不可约表示，将该方法扩展至质子-中子系统，如代理 SU(3) 方案中所用。
• 提供 η = 2 至 6 及 m = 2 至 N 的表格结果，列出 r=2（全同核子）和 r=4（质子-中子系统）的 (λ_H, μ_H)。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个简单、解析的公式，用于确定核子在单振子壳层中 U(N) ⊃ SU(3) 约化时的主导 SU(3) 不可约表示 (λ_H, μ_H)？
• RQ2 如何在不依赖完整群论分解代码的情况下，计算主导 SU(3) 不可约表示？
• RQ3 主导 SU(3) 不可约表示在多大程度上可预测核谱中的哑铃形形状主导性？
• RQ4 在代理 SU(3) 方案中，位于不同振子壳层的质子和中子的主导 SU(3) 不可约表示如何组合以描述核形状？

主要发现

• 本文推导出闭式公式：λ_H = Σ_r Σ_x (η−2r+x) × f_{1+x+r(r+1)/2}，μ_H = Σ_r Σ_x (r−2x) × f_{1+x+r(r+1)/2}，适用于任意振子壳层 η 和占据数构型。
• 对于 η = 2 至 6，所有允许的粒子数和自旋值（偶数 m 时 S=0，奇数 m 时 S=1/2）的主导 SU(3) 不可约表示 (λ_H, μ_H) 均已列出，支持快速查表。
• 结果一致表明，(λ_H, μ_H) 对应于哑铃形 SU(3) 表示，证实了在壳模型 SU(3) 描述中哑铃形相对于橄榄形的主导性。
• 该方法成功复现了代理 SU(3) 和伪 SU(3) 方案中的已知结果，如 20Ne 的 (80) 和 24Mg 的 (84)，验证了其准确性。
• 对于价核子位于不同壳层的质子-中子系统，该公式可预测倾向于哑铃形形变的 (λ_H, μ_H) 组合，如稀土和 actinide 核素中所见。
• 该公式计算实现极为简单，可作为完整约化代码的可靠替代方案，尤其适用于大 N 或仅需主导不可约表示的情况。