[论文解读] Simple prolongs of the non-positive parts of graded Lie algebras with Cartan matrix in characteristic 2

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 8

一句话总结

本文研究了在特征 2 下具有卡坦矩阵的分次李代数的非正部分的简单延拓，利用广义卡坦延拓构造新的例外单李代数。文中识别出若干新系列，包括一个例外李代数 $τ(9;– N)$ 及其超化形式，并通过特征 2 下复例外向量型李超代数的类比，揭示了隐藏的超对称性。

ABSTRACT

Over an algebraically closed fields, an alternative to the method due to Kostrikin and Shafarevich was recently suggested. It produces all known simple finite dimensional Lie algebras in characteristic p>2. For p=2, we investigate one of the steps of this method, interpret several other simple Lie algebras, previously known only as sums of their components, as Lie algebras of vector fields. One new series of exceptional simple Lie algebras is discovered, together with its "hidden supersymmetries". In characteristic 2, certain simple Lie algebras are "desuperizations" of simple Lie superalgebras. Several simple Lie algebras we describe as results of generalized Cartan prolongation of the non-positive parts, relative a simplest (by declaring degree of just one pair of root vectors corresponding to opposite simple roots nonzero) grading by integers, of Lie algebras with Cartan matrix are "desuperizations" of characteristic 2 versions of complex simple exceptional vectorial Lie superalgebras. We list the Lie superalgebras (some of them new) obtained from the Lie algebras considered by declaring certain generators odd. One of the simple Lie algebras obtained is the prolong relative to a non-simplest grading, so the classification to be obtained might be more involved than we previously thought.

研究动机与目标

• 通过将科斯特里金-沙法列维奇方法扩展至 $p > 2$ 之外，对特征 2 下的单有限维李代数进行分类。
• 将此前仅以分量形式描述的李代数解释为向量场代数。
• 通过具有卡坦矩阵的李代数的非正部分的广义卡坦延拓，识别出新的单李代数。
• 通过去超化构造李超代数对应物，揭示这些李代数中隐藏的超对称性。
• 研究在非最简分次下的延拓结构，表明其复杂性可能超出先前假设。

提出的方法

• 对大小 $\leq 4$ 的不可约卡坦矩阵 $A$ 的李代数 $\mathfrak{g}(A)$ 的非正部分，在整数分次下应用广义卡坦延拓。
• 使用去超化函子 $\mathbf{F}$ 将李超代数转化为李代数，从而恢复已知的和新的特征 2 下的单李代数。
• 将新发现的例外李代数识别为 $\mathfrak{wk}(4;a)$ 和 $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$ 的延拓，并将其解释为特征 2 下复例外向量型李超代数类比的去超化形式。
• 通过将分量分解为 $\mathfrak{g}_0$-模并识别不可约结构，分析延拓的结构。
• 利用 SuperLie 包的计算机辅助方法计算延拓，受限于符号计算的局限性。
• 通过调和子空间与对偶子空间粘合多项式与格拉斯曼分量，显式构造李代数作为向量场代数的实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 2 下，具有卡坦矩阵的李代数的非正部分的延拓会产生哪些新的单李代数？
• RQ2 此前仅以分量形式描述的李代数（如布朗系列）如何被解释为向量场代数？
• RQ3 所构造李代数的隐藏超对称性是什么？它们如何从李超代数结构中涌现？
• RQ4 能否通过延拓与去超化方法，将特征 2 下单李代数的分类扩展至科斯特里金-沙法列维奇方法之外？
• RQ5 非最简分次如何影响所产生延拓的结构与单性？

主要发现

• 发现一个新的例外单李代数 $\mathfrak{ir}(9;\underline{N})$，其超化形式为 $\mathfrak{ir}(3;\underline{N}|6)$ 和 $\mathfrak{ir}(5;\underline{N}|4)$，当 $\underline{N} = (1,\dots,1)$ 时，分别退化为 $\mathfrak{o}_{\Pi}'(8)/\mathfrak{c}$、$\mathfrak{o}_{\Pi}'(2|6)/\mathfrak{c}$ 和 $\mathfrak{o}_{\Pi}'(4|4)/\mathfrak{c}$。
• $\mathbf{F}(\mathfrak{mb}(3;\underline{N}|8))$ 被识别为 $\mathfrak{wk}(4;a)$ 的独立延拓，且不依赖于参数 $a$。
• 反括号代数或布蒂因超代数的主要形变被实现为特定卡坦矩阵与分次下 $\mathfrak{wk}'(3;a)/\mathfrak{c}$ 的延拓。
• 在 $\underline{N}$ 的某些约束下，布朗代数 $D_4(3;\underline{N})$ 同构于 $\mathbf{F}(\mathfrak{vle}(3;\underline{N}|8))$，而一般情况更为广泛。
• $\mathfrak{wk}^\prime(3;a)/\mathfrak{c}$ 的延拓为反括号超代数提供了非最简分次下的新实现。
• 通过将某些生成元指定为奇元，明确识别出所获得的李超代数，从而证实了去超化结构，使隐藏的超对称性得以显式揭示。