[论文解读] Simplicial volume of closed locally symmetric spaces of non-compact type

Jean‐François Lafont, Benjamin Schmidt|ArXiv.org|Apr 18, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 18

一句话总结

本文证明了非紧类型闭局部对称空间的单纯上同调体积为正，从而证实了格罗莫夫自1982年以来长期悬而未决的猜想。作者通过新颖地应用重心法构造受控的直线化单纯形，利用体积比较方法建立了单纯上同调体积的下界，从而解决了其正性问题，并由此推出众多几何与拓扑后果。

ABSTRACT

We show that compact, locally symmetric spaces of non-compact type have positive simplicial volume. This gives a positive answer to a question that was first raised by Gromov in 1982. We provide a summary of results that are known to follow from positivity of the simplicial volume.

研究动机与目标

• 解决格罗莫夫1982年关于非紧类型闭局部对称空间单纯上同调体积正性的猜想。
• 基于新的重心法直线化程序，建立单纯上同调体积的下界。
• 证明此类流形支持非平凡的有界上同调，并且不具有如F-结构或无不动点的圆作用等特定几何结构。
• 为后续研究单纯上同调体积与体积之比的精确值以及上同调维数的有界性奠定基础。

提出的方法

• 通过在万有覆盖上应用重心法，将斯 Thurston 的单纯上同调体积方法进行改编，构造出 $\Gamma$-等变的直线化映射。
• 在万有覆盖中定义直线化后的上维单纯形，其雅可比行列式一致有界，从而控制体积畸变。
• 应用单纯上同调体积的比例原理，将其与流形的体积以及直线化单纯形的最大体积相关联。
• 结合 Connell 和 Farb 的估计结果，以及 Besson-Courtois-Gallot 的重心法，对直线化单纯形的雅可比行列式进行控制。
• 通过体积比较方法，利用雅可比行列式的统一有界性与流形的体积，建立单纯上同调体积的下界。
• 将所得正性结果应用于推导有界上同调、$L^2$-不变量以及几何结构方面的推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非紧类型闭局部对称空间是否都具有正的单纯上同调体积？
• RQ2 重心法是否可用于在这些空间中构造出上维单纯形的直线化程序，且其雅可比行列式一致有界？
• RQ3 对于给定的非紧类型局部对称空间，比值 $||M^n|| / \text{Vol}(M^n)$ 的精确值是多少？
• RQ4 此类流形的上维有界上同调 $\hat{H}^n(M^n)$ 是否为有限维？
• RQ5 当单纯上同调体积为零时，这些流形是否满足吕克关于 $L^2$-不变量的猜想？

主要发现

• 任何非紧类型闭局部对称空间的单纯上同调体积均为严格正。
• 由于单纯上同调体积为正，上维有界上同调 $\hat{H}^n(M^n)$ 非零。
• 该流形无法支持任何F-结构，包括无不动点的 $S^1$-作用。
• 对于任意仿射平坦丛 $E \to M^n$，其欧拉示性数满足 $|\chi| \leq 2^{-n} ||M^n||$，优于先前的界。
• 流形 $M^n$ 的贝蒂数之和被一个仅依赖于维数的常数倍的单纯上同调体积所控制。
• 该流形不满足吕克关于 $L^2$-不变量猜想的假设条件，因此不构成该猜想的反例。