[论文解读] Simplification Methods for Sum-of-Squares Programs

Peter Seiler, Qian Zheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于正定矩阵的零对角线性质的快速、计算高效的单项式约简算法，用于求和平方（SOS）规划问题。通过识别并剪枝那些在SOS矩阵中对应对角线元素必须为零的单项式，该方法生成的单项式集合大小永远不会超过牛顿多面体法，且通常显著更小，同时大幅减少计算时间。该方法被扩展为一个更广泛的简化框架，还可消除隐含约束为零的变量，从而改善数值条件并提升求解器性能。

ABSTRACT

A sum-of-squares is a polynomial that can be expressed as a sum of squares of other polynomials. Determining if a sum-of-squares decomposition exists for a given polynomial is equivalent to a linear matrix inequality feasibility problem. The computation required to solve the feasibility problem depends on the number of monomials used in the decomposition. The Newton polytope is a method to prune unnecessary monomials from the decomposition. This method requires the construction of a convex hull and this can be time consuming for polynomials with many terms. This paper presents a new algorithm for removing monomials based on a simple property of positive semidefinite matrices. It returns a set of monomials that is never larger than the set returned by the Newton polytope method and, for some polynomials, is a strictly smaller set. Moreover, the algorithm takes significantly less computation than the convex hull construction. This algorithm is then extended to a more general simplification method for sum-of-squares programming.

研究动机与目标

• 解决SOS规划中因分解向量内单项式项过多而引起的计算瓶颈问题。
• 开发一种比牛顿多面体法更快的替代方法，后者需要昂贵的凸包计算。
• 通过识别并移除因矩阵结构而必须为零的单项式和变量，减小SOS优化问题的规模。
• 通过符号简化改善SOS规划中的数值条件并减少求解器时间。
• 将零对角线原理扩展为适用于带约束SOS规划的一般化简化框架。

提出的方法

• 零对角线算法识别SOS公式中由等式约束所强制为零的正定矩阵Q的对角线元素。
• 利用数学性质：若正定矩阵的对角线元素为零，则其整行整列必须全为零，从而实现单项式剪枝。
• 该算法利用MATLAB的'find'命令高效检测此类约束，与凸包构造相比计算量极小。
• 该方法被扩展以处理涉及单个或多个变量的等式约束，以推断符号信息和额外的零约束。
• 维护一个符号向量以跟踪变量是否被约束为非负、非正或零，从而支持迭代简化。
• 该算法迭代剪枝单项式并将其在约束矩阵A中的对应列置零，从而在保持可行性的同时减小问题规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种单项式约简方法，其速度超过牛顿多面体法，且生成的单项式集合大小不会更大？
• RQ2 正定矩阵的零对角线性质是否能支持更简单、更高效的单项式剪枝策略？
• RQ3 零对角线原理能否推广至超越单项式约简的整个SOS规划简化？
• RQ4 基于符号约束的变量消除在多大程度上能改善SOS规划中的数值条件并减少计算时间？
• RQ5 与牛顿多面体法和SOSTOOLs等现有方法相比，所提出的简化方法在性能和解规模方面表现如何？

主要发现

• 零对角线算法返回的单项式集合大小永远不会超过牛顿多面体法，且对某些多项式，其生成的集合严格更小。
• 该算法所需计算量显著少于牛顿多面体法，因为它避免了凸包构造，仅依赖线性约束分析。
• 该方法已实现于SOSOPT软件包中，并在实际SOS规划问题中展现出显著的效率提升。
• 通用简化过程成功识别并移除了隐含约束为零的变量，改善了数值稳定性并减少了求解时间。
• 迭代符号追踪与约束处理逻辑支持对一个或多个约束的SOS规划进行系统性简化。
• 该方法在保持可行性与最优性的同时降低问题维度，从而在不损失精度的前提下实现更快的求解速度。