[论文解读] Simplifying indefinite fibrations on 4-manifolds

R. İnanç Baykur, Osamu Saeki|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文提出了一套显式、构造性的算法，利用光滑的1-参数同伦移动来简化4-流形上的不定纤维化，包括断裂Lefschetz纤维化和Morse 2-函数。该方法实现了纤维连通、定向、嵌入的圆周像以及连通的圆周轨迹结构，从而实现了存在性定理的纯拓扑证明，并建立了与Gay–Kirby三重分解的对应关系，进而实现了对所有4-流形上新奇三重分解和简化三重分解的构造。

ABSTRACT

We present explicit algorithms for simplifying the topology of indefinite fibrations on 4-manifolds, which include broken Lefschetz fibrations and indefinite Morse 2-functions. The algorithms consist of sequences of moves, which modify indefinite fibrations in smooth 1-parameter families. In particular, given an arbitrary broken Lefschetz fibration, we show how to turn it to one with directed and embedded round (indefinite fold) image, and to one with all the fibers and the round locus connected. We also show how to realize any given null-homologous 1-dimensional submanifold with prescribed local models for its components as the round locus of such a broken Lefschetz fibration. These algorithms allow us to give purely topological and constructive proofs of the existence of simplified broken Lefschetz fibrations and Morse 2-functions on general 4-manifolds, and a theorem of Auroux-Donaldson-Katzarkov on the existence of broken Lefschetz pencils with directed embedded round image on near-symplectic 4-manifolds. We moreover establish a correspondence between broken Lefschetz fibrations and Gay-Kirby trisections of 4-manifolds, and show the existence of simplified trisections on all 4-manifolds. Building on this correspondence, we provide several new constructions of trisections, including infinite families of genus-3 trisections with homotopy inequivalent total spaces, and exotic same genera trisections of 4-manifolds in the homeomorphism classes of complex rational surfaces.

研究动机与目标

• 开发用于简化4-流形上不定纤维化拓扑结构的显式、拓扑算法。
• 通过同伦方法，提供在一般4-流形上存在简化断裂Lefschetz纤维化和Morse 2-函数的构造性证明。
• 建立断裂Lefschetz纤维化与Gay–Kirby三重分解之间的对应关系，从而实现三重分解的新构造。
• 将任何指定的同调平凡1维子流形实现实为具有受控局部模型的断裂Lefschetz纤维化的圆周轨迹。
• 在4-流形上构造无限多组新奇三重分解和简化三重分解，包括复有理曲面的同胚类。

提出的方法

• 该方法采用始终可实现的单胚和多胚移动序列——如翻转、上浮、尖点合并、推进、十字交叉辫化以及R2⁰和R2¹型Reidemeister移动——作用于光滑1-参数族中的不定纤维化。
• 这些移动在保持纤维化结构的同时，改变基图和纤维拓扑，从而实现对奇异像和纤维连通性的系统性简化。
• 算法被应用于映射到2-球面的情形，以实现定向、嵌入的圆周像以及连通的纤维和圆周轨迹。
• 关键技术是使用对应于1-参数族中分岔的基图移动，从而实现对纤维化全局拓扑的控制。
• 通过显式构造，建立了断裂Lefschetz纤维化与三重分解之间的对应关系，使得三重分解可从简化纤维化导出，反之亦然。
• 该方法利用胞腔体描述和稳定化操作，从已知具有不同不变量的辛4-流形出发，构造出无限多组新奇三重分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用显式、拓扑的同伦移动系统性地简化4-流形上的不定纤维化？
• RQ2 能否通过此类移动构造性地证明简化断裂Lefschetz纤维化和Morse 2-函数的存在性？
• RQ3 能否将任何指定的1维子流形实现实为具有指定局部模型的断裂Lefschetz纤维化的圆周轨迹？
• RQ4 断裂Lefschetz纤维化与Gay–Kirby三重分解之间的确切对应关系是什么？如何利用该对应关系构造新三重分解？
• RQ5 能否使用这些方法在固定同胚类型的4-流形上构造无限多组新奇三重分解？

主要发现

• 一种使用始终可实现的同伦移动的显式算法，可将任意闭合定向4-流形上的不定纤维化转化为具有纤维连通、定向、嵌入圆周像以及连通圆周轨迹的简化形式。
• 本文提供了在所有4-流形上存在简化断裂Lefschetz纤维化和Morse 2-函数的纯拓扑且构造性的证明。
• 该研究建立了断裂Lefschetz纤维化与Gay–Kirby三重分解之间的对应关系，从而实现了在所有4-流形上构造简化三重分解。
• 作者在ℂℙ²#9ℂℙ²的同胚类中构造了无限多组新奇(34,8)-三重分解，并在ℂℙ²#7ℂℙ²类中构造了一个新奇(20,4)-三重分解。
• 该方法产生了具有同伦不等价全空间的3-亏格三重分解，并通过稳定化和胞腔体操作提供了一种新奇三重分解的构造方法。
• 本文实现了将任何同调平凡的1-流形实现实为具有指定局部模型的断裂Lefschetz纤维化的圆周轨迹，从而确认了一个关键的实现实现条件。