[论文解读] Simulating Arbitrary Pair-Interactions by a Given Hamiltonian: Graph-Theoretical Bounds on the Time Complexity

Paweł Wocjan, Dominik Janzing+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2001

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 8被引用 4

一句话总结

该论文基于图论方法，为使用给定的置换对称 $zz$-相互作用哈密顿量模拟任意二体相互作用哈密顿量所需的时间复杂度建立了界限。通过将相互作用建模为图，并应用谱论与极大化理论，利用色指数和特征值谱推导出模拟开销的紧致上下界，表明对于二分图相互作用结构，时间演化可实现小于3倍开销的逆向操作。

ABSTRACT

We use an n-spin system with permutation symmetric zz-interaction for simulating arbitrary pair-interaction Hamiltonians. The calculation of the required time overhead is mathematically equivalent to a separability problem of n-qubit density matrices. We derive lower and upper bounds in terms of chromatic index and the spectrum of the interaction graph. The complexity measure defined by such a computational model is related to gate complexity and a continuous complexity measure introduced in a former paper. We use majorization of graph spectra for classifying Hamiltonians with respect to their computational power.

研究动机与目标

• 基于单一固定、置换对称的 $zz$-二体相互作用哈密顿量，建立仅依赖于此的量子模拟计算模型，不依赖任意两比特门。
• 确定仅使用局部控制与给定 $zz$-相互作用时，模拟任意二体相互作用哈密顿量所需的最小时间开销。
• 根据其相互作用结构的图论性质，刻画给定哈密顿量的计算能力。
• 利用谱论与图邻接矩阵的极大化，推导模拟开销的严格上下界。
• 研究时间演化逆向的复杂度，特别是针对完全图与二分图相互作用结构。

提出的方法

• 将量子计算建模为连续时间算法，其中漂移哈密顿量 $H_d = \sum_{k<l} \sigma_z^k \sigma_z^l$ 控制时间演化，并按顺序应用来自 $K = SU(2)^{\otimes n}$ 的局部酉操作。
• 将相互作用结构表示为图 $G$，其中边对应非零的 $zz$-耦合，将相互作用矩阵 $J$ 定义为 $G$ 的邻接矩阵。
• 利用共轭类 $\mathrm{Ad}_K(H_d)$ 通过局部酉变换生成有效哈密顿量，实现在该模型内的通用模拟。
• 应用 Ky Fan 的最大值原理与 Weyl 不等式，推导变换后 $J$ 矩阵和的特征值约束，从而得出模拟可行性所需的极大化条件。
• 将色指数 $\chi'(G)$ 用作模拟时间开销的上界，尤其适用于正则图或完全图。
• 使用谱极大化 $\mathrm{Spec}(\tilde{J}) \prec \mu \cdot \mathrm{Spec}(J)$ 作为以开销 $\mu$ 模拟 $\tilde{H}$ 的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用固定 $zz$-相互作用哈密顿量与局部酉操作时，模拟任意二体相互作用哈密顿量所需的最小时间开销是多少？
• RQ2 图论性质（如相互作用图的色指数与特征值谱）如何约束模拟开销？
• RQ3 时间反演（即模拟 $-H_d$）是否可实现小于3倍开销？在何种条件下成立？
• RQ4 谱极大化在决定一个哈密顿量能否高效模拟另一个哈密顿量方面起什么作用？
• RQ5 相互作用图的结构（尤其是二分图或完全图）如何影响模拟的复杂度？

主要发现

• 模拟开销 $\mu$ 的下界为 $\frac{r}{-q}$，其中 $r$ 与 $q$ 分别为相互作用矩阵 $J$ 的最大与最小特征值，且在完全图情况下该下界为紧致。
• 对于完全图 $K_n$，时间演化逆向的开销下界为 $n-1$，与基于加权色指数 $\chi'(K_n)$ 的上界一致。
• 若相互作用图为二分图，则可通过在某一划分中所有量子比特上应用泡利门 $X$、$Y$ 或 $Z$ 实现时间演化逆向，且开销小于3。
• 以开销 $\mu$ 模拟 $\tilde{H}$ 的必要条件为 $\mathrm{Spec}(\tilde{J}) \prec \mu \cdot \mathrm{Spec}(J)$，该条件由 Ky Fan 原理与特征值极大化推导得出。
• 该模型在给定 $zz$-相互作用下可实现通用量子计算，其能力在无穷小极限下与标准两比特门模型相当或更优。
• 基于时间开销的复杂度度量等价于量子门复杂度与连续复杂度度量，为量子计算复杂度提供统一框架。