[论文解读] Simulation of Deformation and Flow in Fractured, Poroelastic Materials

Katja K. Hanowski, Oliver Sander|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新颖的变分格式与数值方法，用于模拟具有单一有限长度裂缝的裂缝性多孔介质中流体流动与多孔弹性变形的耦合问题。该方法结合了用于基质力学的XFEM与用于裂缝流动的低维Darcy模型，尽管在裂纹尖端裂缝宽度趋于零，仍能在加权Sobolev空间中证明解的存在性，并在2D与3D模拟中展示了最优收敛率，且子结构求解器收敛迅速。

ABSTRACT

We introduce a coupled system of PDEs for the modeling of the fluid-fluid and fluid-solid interaction in a poroelastic material with a single static fracture. The fluid flow in the fracture is modeled by a lower-dimensional Darcy equation, which interacts with the surrounding rock matrix and the fluid it contains. We explicitly allow the fracture to end within the domain, and the fracture width is an unknown of the problem. The resulting weak problem is nonlinear, elliptic and symmetric, and can be given the structure of a fixed-point problem. We show that the coupled fluid-fluid problem has a solution in a specially crafted Sobolev space, even though the fracture width cannot be bounded away from zero near the crack tip. For numerical simulations, we combine XFEM discretizations for the rock matrix deformation and pore pressure with a standard lower-dimensional finite element method for the fracture flow problem. The resulting coupled discrete system consists of linear subdomain problems coupled by nonlinear coupling conditions. We solve the coupled system with a substructuring solver and observe very fast convergence. We also observe optimal mesh dependence of the discretization errors even in the presence of crack tips.

研究动机与目标

• 模拟裂缝中流体流动与周围多孔弹性基质变形之间的非线性耦合，包括流体-流体与流体-固体相互作用。
• 解决裂缝在域内终止的问题，其中裂缝宽度在裂纹尖端趋于零，导致解出现奇异性。
• 在特别构造的加权Sobolev空间中，即使裂缝宽度未远离零，也建立耦合系统弱解的存在性。
• 开发一种单体、一致的离散化方法，采用XFEM处理基质位移与压力，标准FEM处理裂缝流动，确保在奇异性存在下仍具有最优收敛性。
• 实现并验证一种子结构求解器，使其在2D与3D设置下对耦合非线性系统均能实现快速收敛。

提出的方法

• 构建一个耦合PDE系统，将基质中的3D多孔弹性方程与裂缝中的一维Darcy流动模型相结合，裂缝宽度作为未知变量。
• 采用固定点迭代框架处理非线性耦合，其中裂缝渗透率与未知裂缝宽度成反比。
• 使用XFEM增强技术，结合奇异函数（如$ r^{1/2} $），在无需网格对齐的情况下捕捉裂纹尖端的应力与流体压力奇异性。
• 采用一致有限元方法对基质问题进行离散化，结合XFEM增强处理位移与孔隙压力，裂缝部分则采用标准低维FEM。
• 利用子结构求解器求解所得耦合系统，分别处理子域问题，并高效施加非线性耦合条件。
• 构造加权Sobolev空间，严格证明即使在裂缝宽度趋近于零的裂纹尖端处，解的存在性仍可成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当裂缝宽度在裂纹尖端趋于零且无法远离零时，耦合多孔弹性-裂缝流动系统是否仍存在弱解？
• RQ2 在裂纹尖端奇异性存在的情况下，如何准确离散化通过反渗透率耦合的裂缝流动与基质变形之间的非线性关系？
• RQ3 当奇异性存在且裂缝在域内终止时，该数值格式的收敛行为如何？
• RQ4 子结构求解器是否能高效处理由单体格式耦合问题产生的非线性耦合系统？
• RQ5 在使用XFEM并辅以适当增强函数的情况下，位移、压力与裂缝流动的收敛率是否仍能保持最优，即使在裂纹尖端附近？

主要发现

• 即使裂缝宽度在裂纹尖端趋于零，耦合流体-流体与流体-固体相互作用问题在特别构造的加权Sobolev空间中仍存在弱解。
• 基质压力的$ L^2 $误差以$ ext{O}(h^3) $衰减，$ H^1 $误差以$ ext{O}(h^{3/2}) $衰减，表明存在超收敛现象，可能归因于对压力梯度奇异性精确再现。
• 裂缝压力的$ L^2 $误差以$ ext{O}(h^2) $衰减，优于预期，可能由于基质压力在耦合项中带来增强的正则性。
• 位移与总体压力的$ L^2 $与$ H^1 $误差分别表现出$ ext{O}(h^2) $与$ ext{O}(h) $的最优收敛率，证实了XFEM离散化的鲁棒性。
• 子结构求解器在所有测试案例中均以极少迭代次数收敛，表明其对非线性耦合系统的高效性。
• 3D模拟展示了该方法在真实几何结构中的适用性，结果具有物理一致性：流体流出导致裂缝张开，并在裂缝前缘出现峰值von Mises应力。