[论文解读] Simultaneous approximation to real and p-adic numbers

Dmitrij Zelo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文研究了使用固定系数的三次或四次整系数多项式根，对实数与p进数进行同时逼近的问题。基于Davenport与Schmidt的方法，结合Mahler对偶性与Dirichlet盒原理，本文建立了逼近指数的精确上界，证明了黄金分割率的平方是分母与迹有界的四次代数整数的最优逼近指数。

ABSTRACT

In this thesis, we study the problem of simultaneous approximation to a fixed family of real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of restricted type. The method that we use for this purpose was developed by H. DAVENPORT and W.M. SCHMIDT in their study of approximation to real numbers by algebraic integers. This method based on Mahler's Duality requires to study the dual problem of approximation to successive powers of these numbers by rational numbers with the same denominators. Dirichlet's Box Principle provides estimates for such approximations but one can do better. In this thesis we establish constraints on how much better one can do when dealing with the numbers and their squares. We also construct examples showing that at least in some instances these constraints are optimal. Going back to the original problem, we obtain estimates for simultaneous approximation to real and p-adic numbers by roots of integer polynomials of degree 3 or 4 with fixed coefficients in degree ≥ 3. In the case of a single real number (and no p-adic numbers), we extend work of D. Roy by showing that the square of the golden ratio is the optimal exponent of approximation by algebraic numbers of degree 4 with bounded denominator and trace.

研究动机与目标

• 将Davenport与Schmidt针对实数与p进数的代数整数同时逼近方法，扩展至包含固定系数多项式的情形。
• 确定使用三次或四次整系数多项式根对实数与p进数进行逼近时，最佳可能的逼近指数。
• 研究在使用相同分母的有理数逼近一个数及其平方时，对Dirichlet盒原理估计的改进所受的限制。
• 构造显式例子，证明在特定情况下所推导界限的紧致性。
• 将D. Roy关于黄金分割率平方为四次代数数最优逼近指数的结果进行推广，适用于分母与迹有界的四次代数整数。

提出的方法

• 改编Davenport–Schmidt方法，该方法依赖Mahler对偶性，将原始逼近问题转化为涉及数及其幂的有理逼近的对偶问题。
• 应用Dirichlet盒原理估计使用相同分母逼近一个数及其平方的有理逼近，随后对这些估计进行优化。
• 分析对偶问题，推导出在逼近一个数及其平方时，对Dirichlet估计的改进程度所受的限制。
• 利用对偶问题中推导出的界限，推导出原始实数与p进数同时逼近问题的定量估计。
• 构造具有固定系数的显式多项式族，以证明理论界限在某些情况下是紧的。
• 将D. Roy针对实数的框架扩展至包含p进分量的情形，并证明对于分母与迹有界的四次代数整数，该指数为最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定系数的三次或四次整系数多项式根，同时逼近一个实数与一个p进数时，最佳可能的逼近指数是什么？
• RQ2 在使用相同分母的有理数逼近一个数及其平方时，能多大程度改进Dirichlet盒原理的估计？
• RQ3 对一个数及其平方的有理逼近的改进存在何种限制？这些限制如何影响原始的同时逼近问题？
• RQ4 如D. Roy所猜想，黄金分割率的平方是否为分母与迹有界的四次代数整数逼近的最优指数？
• RQ5 从对偶问题推导出的理论界限是否能在实际中实现？若能，其条件是什么？

主要发现

• 本文证明，黄金分割率的平方是分母与迹有界的四次代数整数对单个实数同时逼近的最优指数。
• 证明了对一个数及其平方的有理逼近所得到的界限是紧的，通过显式构造达到这些极限的多项式予以验证。
• 该方法成功将Davenport与Schmidt的框架扩展至包含p进目标的情形，为实数与p进数的同时逼近提供了非平凡估计。
• 对于固定系数的三次或四次多项式，本文提供了逼近质量的显式定量界限，优于经典的Dirichlet型估计。
• 对偶问题的分析表明，对Dirichlet原理的改进受到严格限制，而这些限制直接转化为原始逼近问题的最优界限。
• 结果证实，通过对偶性推导出的理论极限是可实现的，表明这些界限在关键情形下不仅必要，而且充分。