[论文解读] Simultaneous Communication Protocols with Quantum and Classical Messages

Dmitry Gavinsky, Oded Regev+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 14

一句话总结

本文研究了单向消息传递（SMP）协议中一方使用量子消息而另一方使用经典消息的情形，表明量子消息可被大小为 O(qc) 位（随机化）或 O(qc log q) 位（确定性）的经典消息高效模拟，其中 q 为量子比特数量，c 为经典比特数量。关键结果是，对于函数问题，量子-经典 SMP 协议相较于经典-经典协议无法实现超多项式优势，从而解决了 Wim van Dam 关于量子指纹技术在混合模型中局限性的问题。

ABSTRACT

We study the simultaneous message passing (SMP) model of communication complexity, for the case where one party is quantum and the other is classical. We show that in an SMP protocol that computes some function with the first party sending q qubits and the second sending c classical bits, the quantum message can be replaced by a randomized message of O(qc) classical bits, as well as by a deterministic message of O(q c log q) classical bits. Our proofs rely heavily on earlier results due to Scott Aaronson. In particular, our results imply that quantum-classical protocols need to send Omega(sqrt{n/log n}) bits/qubits to compute Equality on n-bit strings, and hence are not significantly better than classical-classical protocols (and are much worse than quantum-quantum protocols such as quantum fingerprinting). This essentially answers a recent question of Wim van Dam. Our results also imply, more generally, that there are no superpolynomial separations between quantum-classical and classical-classical SMP protocols for functional problems. This contrasts with the situation for relational problems, where exponential gaps between quantum-classical and classical-classical SMP protocols are known. We show that this surprising situation cannot arise in purely classical models: there, an exponential separation for a relational problem can be converted into an exponential separation for a functional problem.

研究动机与目标

• 研究当一方通过量子消息通信而另一方通过经典消息通信时，同时消息传递（SMP）协议的能力。
• 确定量子-经典 SMP 协议在函数问题上是否能相对于经典-经典协议实现显著优势。
• 解决 Wim van Dam 最近提出的一个开放问题，即在混合量子-经典设置中量子指纹技术的局限性。
• 为 SMP 协议中量子消息的经典模拟建立紧致界，特别是针对相等性函数。
• 澄清在通信复杂性中函数问题与关系问题之间的关系，尤其是在 Yao 原理下的情形。

提出的方法

• 利用 Aaronson 在单向通信复杂性方面的结果，以界定 SMP 协议中量子消息的经典模拟。
• 使用私有硬币与公共硬币通信模型，推导出量子消息在随机化与确定性经典模拟下的界。
• 应用 Yao 原理，将分布复杂性结果转化为最坏情况复杂性界，从而实现从关系问题到函数问题的约化。
• 通过结合量子态识别与纠错码技术，构建一个使用 O(qc log q) 经典比特的量子消息确定性模拟。
• 分析相等性函数，推导出量子-经典 SMP 协议的下界为 Ω(√(n/log n))，表明其在性能上并未显著优于经典协议。
• 利用最小最大定理与分布复杂性，证明：若在经典模型中关系问题存在指数级分离，则函数问题中也存在类似分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子-经典 SMP 协议能否在函数问题上相对于经典-经典协议实现超多项式优势？
• RQ2 当另一方发送 c 个经典比特时，模拟一个 q 量子比特的量子消息所需的经典通信代价是多少？
• RQ3 当一方消息为经典而非量子时，量子指纹技术是否仍有效？
• RQ4 能否将经典模型中关系问题的指数级分离转化为函数问题的指数级分离？
• RQ5 在混合量子-经典 SMP 模型中，是否存在对量子加速的根本性限制，特别是对于像相等性这样的全函数？

主要发现

• 一个包含 q 个量子比特和 c 个经典比特的私有硬币量子-经典 SMP 协议，可被一个使用 O(qc) 经典比特的私有硬币经典-经典协议模拟（Alice 使用 O(qc) 比特，Bob 使用 c 比特）。
• 一个包含 q 个量子比特和 c 个经典比特的私有硬币量子-经典 SMP 协议，可被一个使用 O(qc log q) 经典比特的私有硬币经典-经典协议模拟（Alice 使用 O(qc log q) 比特，Bob 使用 c 比特），且 Alice 的消息为确定性。
• 对于 n 位字符串上的相等性函数，量子-经典 SMP 协议需要 Ω(√(n/log n)) 位/量子比特，这与经典-经典协议的 Θ(√n) 界相比并无显著改进。
• 在函数问题上，量子-经典与经典-经典 SMP 协议之间不存在超多项式分离，这与关系问题中已知的此类差距形成对比。
• 任何在经典模型中关系问题的指数级分离，若输出大小不过大，则可推出函数问题中也存在类似分离。
• 结果表明，量子-经典 SMP 协议无法实现如量子-量子协议（如量子指纹技术）中所见的指数级加速，从而解决了 Wim van Dam 提出的问题。