[论文解读] Simultaneous Niven Numbers in Arithmetic Progressions for Power-Related Bases

Scott Duke Kominers|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

论文证明，对于底 b 和 B=b^k，每个与 gcd(m,b)=1 的等差数列中，存在无穷多个同时是 b-尼文数和 B-尼文数的整数。

ABSTRACT

Recently, Harrington, Litman, and Wong [Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2024; arXiv:2303.06534] proved that every arithmetic progression contains infinitely many base-$b$ Niven numbers, for any fixed $b\ge 2$. We use a sparse repunit construction to treat a structured two-base version of the same problem, showing that every arithmetic progression with common difference relatively prime to $b$ contains infinitely many integers that are simultaneously $b$-Niven and $b^k$-Niven (indeed, we can obtain simultaneous $b^\ell$-Niven-ness for $\ell=1,\ldots, k$).

研究动机与目标

• 在幂相关底下激发并研究同时的尼文（Harshad）性质。
• 将单底的自冪数方法扩展到两底设置，其中底彼此为幂。
• 证明任意与 gcd(m,b)=1 的等差数列中存在无穷多个 n，使 s_b(n) | n 且 s_B(n) | n。
• 提供一个构造性、显式的方法来生成这样的 n，并讨论对多底幂的扩展。

提出的方法

• 在底 b 与 B=b^k 的情况下，当 B 的数字块较小（块之间不发生进位）时，保持数字和在两底的一致性。
• 利用基于乘法阶的稀疏自冪数构造，强制 n 进入给定的算术等差序列（模 m）。
• 定义可容许的数字和 s，使 s ≡ r (mod m) 且 gcd(s,b)=1，以确保 n_s ≡ r (mod m) 且 s | n_s。
• 设 ω_s = ord_{ms}(B)，以保证 B^{jω_s} ≡ 1 (mod ms)，并推导 n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s}。
• 证明 s | n_s 且 s_B(n_s) = s_B(n_s) = s，通过无进位和以 s 个 1 的底 B 表示实现。
• 通过证明对任意模 m 的剩余 r，存在无限多个可容许的 s，从而证明无穷性。
• 得出在该等差序列中同时是 b-Niven 与 B-Niven 的 n 无穷多；若需要，可将 s_0 的收紧延伸。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意与 gcd(m,b)=1 的等差数列是否都包含无穷多个同时是 b-Niven 与 b^k-Niven 的整数？
• RQ2 如何在两个相关底之间对齐稀疏自冪数构造，以保证共同的数字和可整除性性质？
• RQ3 是否可以在同一等差数列中强制实现对多个幂 b^ℓ 的同时 Niven 性？
• RQ4 当底彼此为幂关系时，在连接 base-B 与 base-b 的数字和方面有哪些结构性优势？

主要发现

• 对任意 b≥2，k≥1，且 B=b^k，且任意 m≥1 使 gcd(m,b)=1，以及任意模 r，有无限多个 n 属于序列 S_{m,r} 满足 s_b(n)|n 且 s_B(n)|n。
• 可以选择可容许的 s，使 s≡r (mod m) 且 gcd(s,b)=1，以构造 n_s 属于 S_{m,r}，使之成为 b- 和 B-Niven。
• 构造的 n_s 满足 s_b(n_s)=s_B(n_s)=s 且 s|n_s，得到在两底的同时尼文性。
• 该方法对不同的可容许 s 生成不同的 n_s，从而证明无穷性。
• 如需要，构造可扩展到对所有 1≤ℓ≤k 的同时尼文性（推论 7.1）。
• 该方法仍然是显式的：计算 ω_s = ord_{ms}(B) 并形成 n_s = sum_{j=0}^{s-1} B^{jω_s}。