[论文解读] Singular basins in multiscale systems: tunneling between stable states

Serhiy S. Yanchuk, Sebastian Wieczorek+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2026

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation被引用 0

一句话总结

论文揭示慢—快多尺度系统中的奇异基盆与奇异漏斗，表明绝热消除与时间平均化可能无法捕捉共存吸引子之间的转换。它引入了奇异漏斗的普适尺度并展示其在若干模型中的鲁棒性，包括自适应岔点范式与自适应自转子。

ABSTRACT

Real-world systems often evolve on different timescales and possess multiple coexisting stable states. Whether or not a system returns to a given stable state after being perturbed away from it depends on the shape and extent of its basin of attraction. We show that basins of attraction in multiscale systems can exhibit special geometric properties in the form of singular funnels. Although singular funnels are narrow, they can extend to different regions of the phase space and, unexpectedly, impact the system's resilience to perturbations. Consequently, singular funnels may prevent common dimensionality reductions in the limit of large timescale separation, such as the quasi-static approximation, adiabatic elimination and time-averaging of the fast variables. We refer to basins of attraction with singular funnels as singular basins. We show that singular basins are universal and occur robustly in a range of multiscale systems: the normal form of a pitchfork bifurcation with a slowly adapting parameter, an adaptive active rotator, and an adaptive network of phase rotators.

研究动机与目标

• 在现实情境中激发研究在多时间尺度上演化的多稳态系统。
• 研究基盆几何如何定性地改变韧性与扰动响应。
• 展示奇异漏斗导致常见降阶方法如绝热消除与时间平均化的失败。
• 证明奇异基盆在代表性模型中的普遍性与鲁棒性。

提出的方法

• 分析存在共存吸引子的慢—快系统并在吸引盆中识别奇异漏斗（SFs）。
• 通过绝热消除和/或平均化推导降维的慢子系统并与全系统比较。
• 推导并验证普适的SF体积尺度V(ε) ~ exp(-C/ε) 当ε→0。
• 通过稳定流形（鞍点）与临界流形计算SF几何与边界。
• 给出标准慢—快模型的显式形式，包括一个岔点范式与自适应相位自转子。
• 扩展到自适应平均场网络以说明更高维SF结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有共存吸引子的慢—快多尺度系统中，奇异漏斗是否普遍出现？
• RQ2 随着ε变小，SF如何影响绝热消除与平均化的有效性？
• RQ3 随着时间尺度分离增强，SF体积的标尺定律是什么？
• RQ4 在更高维的自适应网络中，SF是否仍然存在并保持鲁棒？

主要发现

• SFs 产生进入相空间不同区域的狭窄隧道，使基盆之间的转换成为降阶模型所预期之外的可能性。
• 绝热消除不能捕捉通过SF的转换，而平均化可能完全掩盖多个基盆。
• 在所研究的低维典型系统中，SF体积普遍遵循V(ε) ~ exp(-C/ε) 的尺度。
• SF在参数变化下具有鲁棒性，在自适应自转子与mean-field网络中得到证明。
• 在更高维的系统中，SF可能偏离简单的尺度关系，揭示更丰富的几何结构。