[论文解读] Singularity formation for the Serre-Green-Naghdi equations and applications to abcd-Boussinesq systems

Hantaek Bae, Rafael Granero-Belinchón|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文证明了当流体界面与底部相切时，Serre-Green-Naghdi（SGN）方程的解会在有限时间内形成奇点，证实了在该条件下光滑解的破裂。此外，本文还严格证明了 abcd-Boussinesq 系统可能在有限时间内失去正性并形成奇点，其奇点形成场景在特定初值条件下得到严谨证明。

ABSTRACT

In this work we prove that the solution of the Serre-Green-Naghdi equation cannot be globally defined when the interface reaches the impervious bottom tangentially. As a consequence, our result complements the paper \emph{Camassa, R., Falqui, G., Ortenzi, G., Pedroni, M., \& Thomson, C. Hydrodynamic models and confinement effects by horizontal boundaries. Journal of Nonlinear Science, 29(4), 1445-1498, 2019.} Furthermore, we also prove that the solution to the $abcd-$Boussinesq system can change sign in finite time. Finally, we provide with a proof of a scenario of finite time singularity for the $abcd-$Boussinesq system. These latter mathematical results are related to the numerics in \emph{Bona, \& Chen, Singular solutions of a Boussinesq system for water waves. J. Math. Study, 49(3), 205-220, 2016}.

研究动机与目标

• 研究当流体表面与底部相切时，Serre-Green-Naghdi（SGN）方程光滑解的破裂问题。
• 将先前关于浅水模型中奇点形成的研究结果扩展至高阶色散系统。
• 分析 abcd-Boussinesq 系统的行为，特别是解可能变号并形成奇点的潜力。
• 为 abcd-Boussinesq 系统在特定初值条件下提供有限时间爆破的严格数学证明。
• 通过解析证据补充 Bona 与 Chen 关于 Boussinesq 类系统中奇异解的数值发现。

提出的方法

• 利用涉及 x 的分数幂的能量型泛函，追踪原点附近解范数的演化。
• 应用分部积分法与对称性假设，控制边界项并导出微分不等式。
• 采用 Jensen 不等式与 Hölder 型估计，控制非线性项并导出泛函时间导数的下界。
• 施加特定初值条件，以确保初始泛函为正且无界增长。
• 通过哈密顿结构与泛函不等式分析 abcd-Boussinesq 系统，以检测解正则性的爆破。
• 依赖反证法：假设全局存在将导致泛函无界增长，从而暗示有限时间奇点的形成。

实验结果

研究问题

• RQ1 当流体界面与底部相切时，Serre-Green-Naghdi 方程是否可能在有限时间内形成奇点？
• RQ2 在何种初值条件下，abcd-Boussinesq 系统会失去正性并无法保持光滑性？
• RQ3 是否存在一种严格的解析机制，可解释 Boussinesq 系统中数值模拟所观察到的有限时间爆破现象？
• RQ4 色散、非线性和边界条件之间的相互作用如何导致浅水模型中奇点的形成？
• RQ5 泛函不等式是否可用于检测并证明具有弱耗散的双曲系统中奇点的出现？

主要发现

• 当流体界面与底部相切时，Serre-Green-Naghdi 方程的解无法全局定义，证实了有限时间奇点的存在。
• abcd-Boussinesq 系统可能在有限时间内产生变号的解，即使初值光滑且为正。
• 在满足特定初值条件（即加权积分中涉及 u₀ 与 h₀ 的符号条件）下，abcd-Boussinesq 系统的有限时间爆破被严格证明。
• 通过涉及 h 与 u 的加权泛函的无界增长检测到爆破，这些泛函控制了 L∞ 范数与 Hölder 范数。
• 利用 Jensen 不等式与对称性假设，证明了泛函增长率满足微分不等式，从而导致有限时间爆破。
• 结果证实并扩展了 Bona 与 Chen 关于 Boussinesq 类系统中奇异解的数值观察，提供了分析上的合理依据。