[论文解读] Sl_n-character varieties as spaces of graphs

Adam S. Sikora|ArXiv.org|Jun 3, 1998

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文通过将 SL_n-特征的代数关系表示为在基本群为 G 的空间 X 中嵌入的图上的图式关系，建立了一个 SL_n-特征簇的拓扑框架。证明了所有此类关系均由单一局部变换控制，将 skein-理论不变量推广至高阶李群，并为 SL_n-表示提供了一个图式演算。

ABSTRACT

An SL_n-character of a group G is the trace of an SL_n-representation of G. We show that all algebraic relations between SL_n-characters of G can be visualized as relations between graphs (resembling Feynman diagrams) in any topological space X, with pi_1(X)=G. We also show that all such relations are implied by a single local relation between graphs. In this way, we provide a topological approach to the study of SL_n-representations of groups. The motivation for this paper was our work with J. Przytycki on invariants of links in 3-manifolds which are based on the Kauffman bracket skein relation. These invariants lead to a notion of a skein module of M which, by a theorem of Bullock, Przytycki, and the author, is a deformation of the SL_2-character variety of pi_1(M). This paper provides a generalization of this result to all SL_n-character varieties.

研究动机与目标

• 将 3-流形中纽结的 skein-理论不变量推广至高阶 SL_n-特征簇。
• 为群 G 的 SL_n-特征之间的代数关系提供拓扑解释。
• 证明所有此类关系均可通过在满足 π₁(X) = G 的空间 X 中的图上单一局部变换来可视化与推导。
• 将量子不变量与特征簇之间的联系从 SL₂ 扩展至 SL_n。
• 通过类似费曼图的图，为 SL_n-表示建立图式演算。

提出的方法

• 将 SL_n-特征表示为从 G 到 SL_n 的群同态的迹，其中 G = π₁(X)，X 为拓扑空间。
• 将特征之间的代数关系建模为 X 中嵌入图之间的关系，其中边对应群元素，顶点对应群运算。
• 引入图上的局部变换（类比于 skein 关系），该变换可生成 SL_n-特征之间所有可能的代数恒等式。
• 利用 X 的拓扑结构编码 G 的群论关系，将其转化为图的关系。
• 证明在局部变换下模去的图的空间完整捕捉了 SL_n-特征簇的全部结构。
• 利用与量子拓扑和自旋网络的联系，统一表示论方法与图式方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 G 的 SL_n-特征之间所有代数关系是否均可表示为在满足 π₁(X) = G 的空间 X 中嵌入的图之间的关系？
• RQ2 是否存在一个图上的单一局部变换，可生成 SL_n-特征簇中所有此类关系？
• RQ3 该图式方法如何将 SL₂ 的 skein 模构造推广至 SL_n？
• RQ4 从图嵌入的角度看，SL_n-特征簇的定义关系具有何种拓扑意义？
• RQ5 SL_n-特征簇的结构是否可由有限组局部图关系完全捕捉？

主要发现

• 群 G 的 SL_n-特征之间所有代数关系均可可视化为在满足 π₁(X) = G 的拓扑空间 X 中嵌入的图之间的关系。
• SL_n-特征簇的整个结构均由图上的单一局部关系控制，该关系可生成所有其他关系。
• 该框架将 SL₂ 的 skein 模构造推广至任意 SL_n，为特征簇提供了拓扑模型。
• 该方法在 SL_n 表示论与图式不变量之间建立了直接联系，通过嵌入图实现。
• 该方法为 SL_n-表示提供了一套几何与组合演算，类似于自旋网络与费曼图。
• 结果在高阶李群的框架下，统一了量子不变量、特征簇与拓扑图论。