[论文解读] Slow and Ordinary Provability for Peano Arithmetic

Paula Henk, Fedor Pakhomov|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文研究了皮亚诺算术（PA）中三种不同的缓慢可证性变体，引入了新的一致性命题，其理论严格介于PA与PA + 普通一致性之间。研究证明，基于这些变体的图灵-费弗曼进展序列分别在ε₀、ω和2步内达到PA + Con_PA，并完全刻画了其与普通PA可证性的联合可证性逻辑。

ABSTRACT

The notion of slow provability for Peano Arithmetic ($\mathsf{PA}$) was introduced by S.D. Friedman, M. Rathjen, and A. Weiermann. They studied the slow consistency statement $\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ that asserts that a contradiction is not slow provable in $\mathsf{PA}$. They showed that the logical strength of $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ lies strictly between that of $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}$ together with its ordinary consistency: $\mathsf{PA}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}$. This paper is a further investigation into slow provability and its interplay with ordinary provability in $\mathsf{PA}$. We study three variants of slow provability. The associated consistency statement of each of these yields a theory that lies strictly between $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in terms of logical strength. We investigate Turing-Feferman progressions based on these variants of slow provability. We show that for our three notions, the Turing-Feferman progression reaches $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in a different numbers of steps, namely $\varepsilon_0$, $ω$, and $2$. For each of the three slow provability predicates, we also determine its joint provability logic with ordinary $\mathsf{PA}$-provability.

研究动机与目标

• 研究皮亚诺算术（PA）中缓慢可证性与普通可证性之间的逻辑强度及其相互作用。
• 分析不同缓慢可证性变体如何影响一致性命题的强度及其迭代扩展。
• 确定基于缓慢一致性谓词的图灵-费弗曼进展的证明论行为。
• 为每种变体刻画缓慢可证性与普通PA可证性的联合可证性逻辑。
• 解决关于缓慢一致性迭代收敛至完整PA一致性的开放问题。

提出的方法

• 基于快速增长层级中的递归函数（特别是F_ε₀）定义三种不同的缓慢可证性谓词。
• 形式化缓慢一致性陈述Con_f，即断言在理论PA↾f中无法证明矛盾，其中f为非可证总函数。
• 使用可证性逻辑框架，对缓慢一致性陈述进行超限迭代，确保满足希尔伯特-贝尼阿斯-哥德尔可证性条件。
• 构建一个模态逻辑GL2，以捕捉普通PA可证性与缓慢可证性谓词的联合可证性行为。
• 应用索洛瓦风格的算术实现，证明GL2关于缓慢可证性与普通可证性谓词的算术完备性。
• 使用树状GL-框架及可及关系（≺和≺₂）来建模联合可证性逻辑的模态结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些序数α ∈ (ω, ε₀)，存在序列S_n，使得PA证明：对S_n的第α次缓慢可证性迭代等价于普通PA可证性？
• RQ2 当考虑更高阶迭代（例如□_f^n）而非一致性陈述时，主要定理的类比是否仍然成立？
• RQ3 联合可证性逻辑GL2能否推广至具有线性有序模态的多模态逻辑系统？算术完备性是否可扩展至此类系统？
• RQ4 对于任意一对满足定理16条件的可证性谓词，是否总能找出一个初等良序及序数α，使得其中一个谓词是另一个的第α次迭代？
• RQ5 对于哪些自然数n > 2，存在递归函数f，使得对所有φ，PA证明□_f^n φ ↔ □φ？

主要发现

• 基于F_ε₀的缓慢一致性陈述的ε₀次迭代等价于普通PA一致性，解决了[9, 注记4.4]中提出的问题。
• 对PA↾f的修改定义产生了一种类缓慢一致性陈述，其ω次迭代已达到PA + Con_PA。
• 基于一种缓慢可证性变体的图灵-费弗曼进展序列在ε₀步内达到PA + Con_PA。
• 基于第二种变体的进展序列在ω步内达到PA + Con_PA。
• 基于第三种变体的进展序列仅在2步内达到PA + Con_PA。
• 普通PA可证性与每种缓慢可证性变体的联合可证性逻辑被刻画为GL2，其具有基于树状GL-框架及导出的两步可及关系的可靠且完备的克里普克框架语义。