[论文解读] Small Gal sums and applications

Régis de la Bretèche, Marc Munsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 38被引用 10

一句话总结

本文引入并分析了小Gál和，重点在于通过最小化加权乘法能量来改进解析数论中的界限。研究建立了这些和的最小值的精确渐近估计，从而在Burgess特征和界中实现对数修正，改进了狄利克雷特征的非零theta函数的下界，以及低矩特征和的新下界，关键指数通过具有对数密度的算术函数的优化得出。

ABSTRACT

In recent years, maximizing Gál sums regained interest due to a firm link with large values of (Formula presented.) -functions. In the present paper, we initiate an investigation of small sums of Gál type, with respect to the (Formula presented.) -norm. We also consider the intertwined question of minimizing weighted versions of the usual multiplicative energy. We apply our estimates to: (i) a logarithmic refinement of Burgess' bound on character sums, improving previous results of Kerr, Shparlinski and Yau; (ii) an improvement on earlier lower bounds by Louboutin and the second author for the number of nonvanishing theta functions associated to Dirichlet characters; and (iii) new lower bounds for low moments of character sums.

研究动机与目标

• 研究小Gál和及其在ℓ1加权约束下的最小化问题，动机源于特征和与L-函数的应用。
• 通过使用优化权重引入对数修正，改进Burgess在特征和上的经典界限。
• 为模素数的偶狄利克雷特征相关联的非零theta函数的数量推导出新的下界。
• 通过mollification技巧和能量最小化，建立特征和低矩的新下界。
• 确定具有小乘法能量的整数子集的最优密度，与具有给定素因子个数的整数结构相关联。

提出的方法

• 定义并分析在权重c ∈ ℝ₊^N满足ℓ1归一化条件下的V(c; N) = ∑_{m,n≤N} (m,n)/(m+n) c_m c_n的最小化问题。
• 引入相关量T(c; N)，并证明VN ≪ TN/2，且两者均有界于(log N)^η (log₂ N)^3，其中η ≈ 0.16656为超越方程的解。
• 通过加权乘法能量E(c; N)的最小化推导出EN的界限，显示EN ≫ (log N)^δ (log₂ N)^3/2 且 EN ≪ (log N)^δ (log₂ N)^6，其中δ ≈ 0.08607。
• 通过构造具有更高密度集合的mollifier，替代先前对光滑数的平均，将最小化结果应用于Burgess型特征和估计。
• 利用Hölder不等式和正交关系，将theta函数的第一mollified矩与能量E(c; q)关联，从而获得非零值数量的下界。
• 采用归纳法和指数和估计，改编Kerr、Shparlinski和Yau的方法，但使用更密集的平均集合，实现对Burgess界限的对数修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 当N → ∞时，ℓ1归一化正权重c ∈ ℝ₊^N下加权Gál和V(c; N)的最小值VN的渐近行为是什么？
• RQ2 最小加权乘法能量EN与具有给定素因子个数的整数分布有何关系？
• RQ3 能否通过使用更高密度的集合改进mollification方法，以获得狄利克雷特征theta函数非零值数量的更强下界？
• RQ4 通过使用优化的平均集合引入对数修正，Burgess特征和界限能在多大程度上得到改进？
• RQ5 集合B ⊂ [1, N]的最优密度是多少，使得相对于|B|²，乘法能量E([1, N], B)的增长缓慢？

主要发现

• 最小值VN满足(log N)^η ≪ VN ≪ (log N)^η (log₂ N)^3，其中η ≈ 0.16656，η为特定函数f和Q满足f(β) = Q(β)的解。
• 最小加权乘法能量EN满足(log N)^δ (log₂ N)^3/2 ≪ EN ≪ (log N)^δ (log₂ N)^6，其中δ ≈ 0.08607，该指数来自乘法表问题。
• Burgess特征和界限被改进为|S(M, N; χ)| ≪ N^{1−1/r} p^{(r+1)/4r²} (log p)^{η/2r} (log₂ p)^{3/2r}，其中η ≈ 0.16656，且N ≤ p^{1/2 + 1/4r}。
• 对于固定的x > 0，至少有≫ p / (log p)^δ (log₂ p)^6个模p的偶狄利克雷特征满足ϑ(x; χ) ≠ 0，其中δ ≈ 0.08607。
• 对于r ∈ (0, 4/3)，当N ≤ √p时，特征和的k阶矩满足Sk(N) ≫ N^{r/2} / E_N^{1−r/2}，其中EN为最小加权能量。
• 最小化V(1_B; N)的最优集合是{ n ≤ N : Ω(n) = ⌊β log₂ N⌋ }的一个大子集，其中β ≈ 0.48155，满足V(1_B; N) ≪ |B| (log |B|)^o(1)。