[论文解读] Small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation with Navier slip-with-friction boundary conditions

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach+1 more|ArXiv.org|Dec 23, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 49被引用 5

一句话总结

本文建立了二维和三维纳维-斯托克斯方程在具有摩擦的斯利普边界条件下的小时间全局精确可控性，即使控制仅施加于边界的一部分。通过结合欧拉方程的可控性、渐近边界层分析以及精心设计的控制策略，作者证明了：对于任意初始速度场 $L^2_\gamma(\Omega)$，均可在任意短的时间内精确驱动至零，即使在未受控边界部分形成了粘性边界层。

ABSTRACT

In this work, we investigate the small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation, both towards the null equilibrium state and towards weak trajectories. We consider a viscous incompressible fluid evolving within a smooth bounded domain, either in 2D or in 3D. The controls are only located on a small part of the boundary, intersecting all its connected components. On the remaining parts of the boundary, the fluid obeys a Navier slip-with-friction boundary condition. Even though viscous boundary layers appear near these uncontrolled boundaries, we prove that small-time global exact controllability holds. Our analysis relies on the controllability of the Euler equation combined with asymptotic boundary layer expansions. Choosing the boundary controls with care enables us to guarantee good dissipation properties for the residual boundary layers, which can then be exactly canceled using local techniques.

研究动机与目标

• 在二维和三维区域中，针对具有具有摩擦的斯利普边界条件的纳维-斯托克斯方程，建立小时间全局精确可控性。
• 解决仅在边界部分施加控制时的流体控制挑战，同时在未受控部分形成粘性边界层。
• 证明边界层的存在不会阻碍在任意短时间内的精确零态可控性。
• 将可控性结果推广至一般摩擦矩阵 $M$，包括狄利克雷条件的极限情况。
• 提出一种基于欧拉方程可控性与局部控制技术实现边界层抵消的构造性策略。

提出的方法

• 利用欧拉方程的可控性作为纳维-斯托克斯系统的一阶近似。
• 使用渐近边界层展开来建模在施加具有摩擦的斯利普条件的未受控边界附近的粘性效应。
• 在受控部分 $\Gamma$ 上设计边界控制，以确保残余边界层中具有有利的耗散特性。
• 应用局部控制技术，在通过渐近展开估计边界层后，精确抵消其分量。
• 构造一个弱受控轨迹 $u \in \mathcal{C}^0_w([0,T];L^2_\gamma(\Omega)) \cap L^2((0,T);H^1(\Omega))$，使其满足给定边界条件下的纳维-斯托克斯方程。
• 使用正规扩展算子，并通过积分公式求解无散向量场重构问题，以生成保持无散结构的强迫项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制仅施加于边界的一部分时，纳维-斯托克斯方程是否能在任意短的时间内被驱动至零？
• RQ2 在未受控边界部分形成的粘性边界层是否会阻碍小时间全局精确可控性？
• RQ3 欧拉方程的可控性是否可作为实现具有具有摩擦的斯利普条件的纳维-斯托克斯系统精确可控性的基础？
• RQ4 是否可能在渐近展开后，通过局部控制技术精确抵消残余边界层？
• RQ5 一般摩擦矩阵 $M$ 如何影响可控性策略？该结果是否可推广至狄利克雷极限（$M \to \infty$）？

主要发现

• 二维和三维纳维-斯托克斯方程在具有具有摩擦的斯利普边界条件下，具有小时间全局精确零可控性。
• 对于任意 $T > 0$ 和任意初始数据 ${u_*} \in L^2_\gamma(\Omega)$，存在一个弱受控轨迹 $u$，使得 $u(0,\cdot) = {u_*}$ 且 $u(T,\cdot) = 0$。
• 该结果对任意固定的正粘性系数 $\nu$ 依然成立，并可推广至依赖于 $\nu$ 的摩擦矩阵 $M_\nu$，包括狄利克雷极限情况。
• 该构造依赖于欧拉方程的可控性，以及通过精心设计的边界控制对粘性边界层进行控制与抵消的能力。
• 该方法确保边界层动力学具有耗散性，并可通过局部技术精确抵消，即使边界层形成于未受控部分。
• 证明在弱拓扑下构造了解，取值于 $L^2_\gamma(\Omega)$，且该轨迹的存在性已建立，无需依赖唯一性或强解。