[论文解读] Smooth approximation for classifying spaces of diffeomorphism groups

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过微分空间（diffeological spaces）框架，为微分同胚群的分类空间建立了一个光滑逼近定理，证明了BG的光滑奇异复形与连续奇异复形之间存在弱同伦等价。由此可得，BG的光滑同伦群与连续同伦群自然同构，从而使得无穷范畴方法可用于构造同伦一致的群作用。

ABSTRACT

We prove a smooth approximation theorem for classifying spaces of certain infinite-dimensional smooth groups. More precisely, using the framework of diffeological spaces, we show that the smooth singular complex of a classifying space BG is weakly homotopy equivalent to the (continuous) singular complex of BG when G is a diffeomorphism group of a compact smooth manifold. In particular, the smooth homotopy groups of BG are naturally isomorphic to the usual (continuous) homotopy groups of BG. On top of a computation of homotopy groups, our methods yield a way to construct homotopically coherent actions of G using infinity-categorical techniques. We discuss some generalizations and consequences of this result with an eye toward [OT19], where we show that higher homotopy groups of symplectic automorphism groups map to Fukaya-categorical invariants, and where we prove a conjecture of Teleman from the 2014 ICM in the Liouville and monotone settings.

研究动机与目标

• 为无限维微分同胚群的分类空间建立光滑逼近定理。
• 在G为紧致光滑流形的微分同胚群时，弥合BG的光滑与连续同伦理论之间的鸿沟。
• 为利用无穷范畴方法构造同伦一致的群作用提供框架。
• 支持在辛几何中的应用，特别是将辛自同构群的高阶同伦群与Fukaya范畴不变量联系起来。
• 在Liouville与单调辛几何设定下，证明Teleman（ICM 2014）的猜想，详见[OT19]。

提出的方法

• 采用微分空间框架来处理分类空间上的光滑结构。
• 构造BG的光滑奇异复形，并通过弱同伦等价将其与连续奇异复形进行比较。
• 使用无穷范畴技术来建模G在相关范畴上的同伦一致作用。
• 通过弱同伦等价建立BG的光滑同伦群与标准（连续）同伦群之间的自然同构。
• 利用光滑结构从同伦理论数据中提取几何与范畴论不变量。
• 将结果应用于计算或关联辛自同构群的高阶同伦群与Fukaya范畴不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当G为微分同胚群时，BG的光滑奇异复形是否与连续奇异复形弱同伦等价？
• RQ2 在此设定下，BG的光滑同伦群与标准连续同伦群有何关系？
• RQ3 微分空间在实现无限维李群的光滑逼近中起到何种作用？
• RQ4 如何利用无穷范畴方法构造G的同伦一致作用？
• RQ5 这些结果在多大程度上支持或证明了Teleman在2014年ICM上提出的猜想，特别是在Liouville与单调辛几何设定下？

主要发现

• 当G为紧致光滑流形的微分同胚群时，BG的光滑奇异复形与连续奇异复形之间弱同伦等价。
• BG的光滑同伦群与标准（连续）同伦群自然同构。
• 该框架使得利用无穷范畴技术构造G的同伦一致作用成为可能。
• 这些结果为将辛自同构群的高阶同伦群与Fukaya范畴不变量联系起来奠定了基础。
• 本文在Liouville与单调设定下证明了Teleman于2014年ICM上提出的猜想，详见[OT19]。
• 该方法为微分同胚群分类空间建立了光滑逼近理论，将经典同伦理论工具扩展至光滑设定。